小波函数，又被称为小波分析或小波变换，是一种使用具有有限长或快速衰减特性的震荡波形来表示信号的方法。这种方法通过缩放和平移母小波来适应输入信号的特点。

小波可以通过缩放滤波器g来定义，这是一个低通有限脉冲响应（FIR）滤波器，其长度为2N且和为1。在双正交小波的情况下，分解和重建的滤波器分别定义。高通滤波器的分析可以通过低通的QMF来计算，而重建滤波器则是分解的时间反转。例如Daubechie和Symlet小波。

小波也可以通过缩放函数φ（t）来定义，它也被称为父小波。小波函数实际上是一个带通滤波器，每经过一级缩放，带宽就会减半。这导致一个问题，即为了覆盖整个频谱，需要无限多个级别。缩放函数过滤掉小波变换的最低级别，从而确保整个频谱都被覆盖。对于具有紧支撑的小波，φ（t）可以被视为有限长，并等效于缩放滤波器g。例如Meyer小波。

小波还可以仅通过时域表示，即小波函数ψ（t）。例如墨西哥帽小波。

小波变换常与傅里叶变换相比较，后者使用正弦函数和余弦函数的组合来表示信号。小波变换的主要区别在于它在时间和频率上都具有局部特性，而标准傅立叶变换则只是在频率上具有局部特性。短时间傅立叶变换（STFT）也是一种时空局部化的处理方法，但它在频率和时间分辨率方面存在问题，而小波变换通常通过多分辨率分析提供更好的信号表示。此外，小波变换的计算复杂度更低，只需O（N）时间，而快速傅立叶变换则需要O（N log N）时间，其中N代表数据大小。

小波变换广泛应用于各种领域，特别是在信号编码和分析方面。DWT通常用于工程和计算机科学领域的信号编码，而CWT则更多地用于科学研究。小波变换已经取代了傅里叶变换在许多物理领域的地位，包括分子动力学、天文物理学、地震地质物理学、光学、湍流和量子力学。其他受益于这一变革的学科还包括图像处理、血压、心率和心电图分析、脱氧核糖核酸分析、蛋白质分析、气象学、通用信号处理、语音识别、计算机图形学和多分形分析。小波的一个重要应用是数据压缩，它可以将原始数据（如图像）转换为已编码的数据，实现有效压缩。JPEG 2000就是一个采用小波的图像标准。

小波的发展涉及多条研究路线，最早的Alfred Haar在20世纪初的工作奠定了基础。Pierre Goupillaud、Alex Grossman和Jean Morlet提出了CWT（1982），Jan-Olov Strömberg在离散小波方面的早期工作（1983），Ingrid Daubechies提出的紧支撑正交小波（1988），Stephane Mallat的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat提出的CWT时域频域解释（1991），以及David E. Newland的调和小波变换等人的贡献。