稳定分布是一类无穷可分分布，称随机变量X的概率分布为稳定的，如果对于任意实数a₁\u003e0，a₂\u003e0，b₁和b₂，存在实数a\u003e0和b，使其分布函数F(x)满足条件：F(a₁x+b₁)*F(a₂x+b₂)=F(ax+b)，其中“*”表示函数的卷积运算。直观上，如果同一类型分布的卷积分布仍为此种类型，则分布称做稳定的。稳定分布都是无穷可分分布，如退化分布、正态分布、柯西分布等。独立同分布随机变量和的极限分布是稳定分布，稳定分布都是某独立同分布随机变量和的极限分布。

稳定分布有多种等价的定义方式，这里根据稳定性(Stability Property)、吸引域(Domain of Attraction)和特征函数(Characteristic 函数)给出稳定分布的三种定义。

如果对于任意正数A和B，存在正数C和一个实数，使得

成立，则称随机变量X是一个稳定分布。其中，随机变量和是的独立样本：符号“”表示分布相同。如果X和-X具有相同的分布，则称稳定随机变量为对称稳定的。如果当时式(1)仍成立，则称 为严格稳定的。

此定义表明，稳定随机变量的加法是封闭的，而且其概率密度函数的卷积也是封闭的。若 是相互独立的稳定随机变量，并且具有相同的参数，则其线性组合也服从稳定分布，并且具有相同的参数。

定理1 如果对任意稳定随机变量X，总均存在 数使得C满足

则称为稳定变量，其中 称为特征指数(Characteristic Exponent)或稳定系数(Indexof Stability)。

如果随机变量存在一个吸收域，即存在一个独立同分布的随机变量序列 以及序列 使得

则称随机变量X是一个稳定分布。此定义也称广义中心极限定理，其中“”表示依分布收敛。特别地，如果满足独立同分布且具有有限方差，则高斯分布是其极限分布，式(3)便成为中心极限定理的原始表述。

稳定分布并不存在统一、封闭的概率密度函数(Probability Density Functions，PDF)解析表达式，但它存在统一的特征函数(Characteristic Function，CF)。特征函数是表示 稳定分布最方便的方法，若随机变量X服从稳定分布规律，当且仅当其特征函数满足

式中： 为符号函数。可见，稳定分布的特征函数完全由4个参数唯一确定。符合特征函数式(4)的4个参数称为标准参数系S，并记为 。

(1)称为特征指数（Characteristic Exponent），它决定了稳定分布的概率密度函数拖尾厚度。它的值越小，分布的拖尾也就越厚，所以分布的冲击性越强，即偏离中值的样本个数越多：随着值的不断增大，分布的拖尾将变浅，冲击强度降低，如图1和图2所示。特别说明，稳定分布当时退化为高斯(Gauss)分布，当并且时为奥古斯丁-路易·柯西(Cauchy)分布，为此我们定义为分数低阶稳定分布，以区别于的高斯分布。

(2) γ为尺度参数(Scale parameter)或分散系数(Dispersion)，它是关于分布样本偏离其均值的一种度量，其意义类似于高斯分布时的方差。实际上，在高斯分布情况下γ为方差的两倍。

(3) β为偏斜参数(偏度 parameter)，它决定了分布的对称程度。当时，该分布是对称的，通常称为对称α稳定(Symmetric α-Stable，SaS)分布。高斯分布和柯西分布都属于对称α稳定分布，和好分别对应分布的左偏和右偏。

(4) δ为位置参数(Location parameter)。考虑到特征函数与其概率密度函数互为傅里叶变换，所以式4中的指数项表征了概率密度函数在X轴的偏移。对于分布而言，δ表示分布的均值或中值。当且时，则稳定分布称为标准稳定分布。

α稳定分布具有以下基本性质：

若 和 均是独立的稳定随机变量，那么其中

若 ，并且 为非零实常数，为实数，那么

对于任意，有 。对于，称 是左偏斜的：对于

，称 是右偏斜的。当和时，分别对应完全左偏斜和完全右偏斜。

当且仅当时， 关于δ对称的：当且仅当且时， 关于0对称。

若 ，并且 那么存在两个独立同分布的随机变量，具有分布 使下式成立，即

当 并且γ取固定值时，如果 ，且有 则对于所有的x满足

若 ，且则对任意 有

对于任意有

这表明：当 时，分数低阶稳定随机变肇没有有限的二阶矩，许多在高斯情况下有效的技术不能应用于这种场合，例如谱分析和最小二乘方法等；当时，甚至没有有限的—阶矩，从而使数学期望的使用也受到影响。分数低阶统计量是用来研究稳定分布的有力工具。