外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）是有关三角形边长和面积的一个不等式。设三角形的边长为a,b,c，面积为S，则外森比克不等式声称a^2+b^2+c^2≥4√3S成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。此不等式在1961年国际数学奥林匹克竞赛中曾被用作题目要求学生证明。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积，

则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立。

定理证明如下：

由海伦公式，三角形面积可表示为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。则4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]。由于三角形任意两边之和大于第三边，所以根号里各项都是正数，由均值不等式可得：

4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}

=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)

≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

整理得a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 证毕。

除了上述证明方法，还存在其他证明方式，例如：

证明一：利用所有平方数非负的性质，可以得出：

(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2≥0

进而推导出a^2+b^2+c^2≥4√3S。

证明二：使用排序不等式和算术-几何平均值不等式，可以证明：

a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca

进而得出a^2+b^2+c^2≥4√3S。

证明三：内拿破仑定理的面积的平方的6倍等于不等式左边减去右边，由于面积平方不小于0，从而不等式成立。

哈德维格尔不等式

外森比克不等式还可以加强为：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,

也就是费恩斯列尔·哈德维格尔（Hadwiger Finsler）不等式。

佩多不等式

佩多不等式（Don Pedoe Inequality)是外森比克不等式的推广，其内容为：

如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(b^2+a^2-c^2)≥16Ff

等式成立当且仅当两个三角形对应边成比例，也就是a/A=b/B=c/C。