帕斯卡定理(1639年帕斯卡提出的定理)

帕斯卡定理

1639年帕斯卡提出的定理

帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线，与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡所发现，被称为帕斯卡定理，是射影几何中的一个重要定理。

定理定义

如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。

由于六边形的存在多种情况，帕斯卡定理的图形也存在多种，它们虽然看起来截然不同，但均为帕斯卡定理，证明它们的方法也是相同的

验证推导

可以利用射影变换，将圆锥曲线的命题转化为圆的命题

现在只需要证明圆的内接六边形三双对边的交点共线即可

帕斯卡定理的证法有许多种，在此只列举三种

证法1

面积法：

设交于，交于交于

连接，设交于(如图1)，交于(如图2)

要证共线，只需证交于一点。

现在只需证：，即证：

共边定理+公交定理可得：

命题得证

证法2

梅涅劳斯定理证法：

设交于交于交于

对和截线分别应用梅涅劳斯定理得：

三式相乘得：

圆幂定理得：

将(2),(3),(4)式代入(1)得：

梅涅劳斯逆定理得：共线，命题得证

证法3

位似证法：

作外接圆交于于

∵，∴

同理可得：

∴与位似

又位似三角形对应点的所在的直线交于一点

即交于一点，此点为

∴共线，命题得证

证法4

角元赛瓦定理证法

利用角元赛瓦定理逆定理证明共点（下面推导省去符号）

我们有

（第二步为对用角元赛瓦定理）

因此共点，即共线。

证法5

射影证法

圆锥曲线（以椭圆为例）上六点，，，求证共线

在异于题设所在平面的空间上任取一点作为射影中心，将射影为一对平行直线；将射影为一对平行直线，再将中心射影后图形中的椭圆仿射为圆（如右图）

则由平行四边形及同弧圆周角性质知，则根据同圆内等弦长对应等圆周角推导知则观察图中两个绿色三角形笛沙格定理（逆）知则帕斯卡定理得证。

参考资料

条目作者

小编

资深百科编辑

概述

定理定义

验证推导

证法1

证法2

证法3

证法4

证法5

参考资料