固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性力学的发展大体分为四个时期。

发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.罗伯特·胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。

第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.-L·柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展时期。这个时期的主要特点是弹性力学被广泛应用于工程问题，同时在理论方面建立了许多重要的定理和原理，并提出了许多有效的计算方法。这个时期从A·J·C·B·de圣维南于1855～1856年间发表关于柱体的扭转和弯曲的论文后开始，开辟了一条用半物理半数学的方法解弹性力学基本方程的途径。接着G·B·艾里解决了平面应力问题，H·R·赫兹解决了接触问题，G·基尔施解决了孔边应力集中问题，等等。这些成就的取得，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期中，弹性力学的一般理论也有了很大的发展。在弹性力学基本方程建立后不久，建立了弹性力学的虚功原理和最小势能原理。1872年E.贝蒂建立了互换定理。1879年A·卡斯蒂利亚诺建立了余能原理。由于这些能量原理的建立，使基于这些原理的近似计算（如瑞利－里兹法和伽辽金法）也得到了发展。

从20世纪20年代起，弹性力学进入第四个时期，各向异性和非均匀体的弹性力学、非线性弹性力学、热弹性力学等都有了重大发展。另外，还出现了许多边缘分支，如研究固体与气体（或液体）共同作用的气动弹性力学以及粘弹性力学等。这些领域的发展，促进了有关工程技术的发展。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。

在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。

1．假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

2．假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成比例。

3．假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。

4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。

5．假定位移和形变是微小的。

主要分支

静力学、动力学、流体力学、分析力学、运动学、固体力学、材料力学、复合材料力学、流变学、结构力学、弹性力学、塑性力学、爆炸力学、磁流体力学、空气动力学、理性力学、物理力学、天体力学、生物力学、计算力学

物理分支

物理学概览、力学、热学、光学、声学、电磁学、核物理学、固体物理学

在各向同性线性弹性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程和边界条件的表达式。

直角坐标系下的弹性力学的基本方程为平衡微分方程：

(1)

几何方程：

(2)

物理方程：

(3)

(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx、εy、εz、γyz、γxz、γxy为应变分量；(3)式中的E和v分别表示杨氏弹性模量和泊松比。

在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为

(4)

这里的 、、墫表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，l、m、n表示物体表面外法线的三个方向余弦。

如物体表面位移ū、、已知，则边界条件表示为

u＝ū，v＝堸，w＝塐　　　　　　　　　 (5)

这样就将弹性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏侮分方程的问题。

主要解法式(1)、(2)、(3)中有15个变量，15个方程，在给定了边界条件后，从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见，应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的，因此求解弹性力学问题通常有两条途径。其一是以位移作为基本变量，归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程，这个方程可以从(1)、(2)、(3)式中消去应变分量和应力分量而得到。其二是以应力作为基本变量，应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外，为保证物体变形的连续性，对应的应变分量还须满足相容方程：

(6)

这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。

在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。

从数学观点来看，弹性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例如，对于用位移作为基本变量求解的问题，又可以归结为求解变分方程：

δП1＝0　　　　　　　　　(7)

П1是物体的总势能，它是一切满足位移边界条件的位移的泛函。对于稳定平衡状态，精确的位移将使总势能П1取最小值的称为最小势能原理。又如对于用应力作为基本变量求解的问题，可归结为求解变分方程：

δП2＝0　　　　　　　　　(8)

П2为物体的总余能，它是一切满足平衡微分方程和静力边界条件的应力分量的泛函。精确的应力分量将使总余能 П2取最小值的称为最小余能原理。(7)式等价于用位移表示的平衡微分方程和静力边界条件，而(8)式则等价于用应

力表示的相容方程。在求问题的近似解时，上述泛函的极值问题又进而变为函数的极值问题，最后归结为求解线性非齐次代数方程组。

还有各种所谓的广义变分原理，其中最一般的是广义势能原理和广义余能原理，它们等价于弹性力学的全部基本方程和边界条件。但和总势能П1和总余能П2不同，广义势能和广义余能作为应力分量、应变分量和位移分量的泛函，对于精确解，也只取非极值的驻值。

由于弹性力学的基本方程是在弹性力学的五条基本假设下通过严密的数学推导得出的，因此弹性力学又称为数学弹性力学。而板壳力学则属于应用弹性力学。因为，它除了引用这五条基本假设外，还对变形和应力的分布作了一些附加假设。从这个意义上讲，材料力学也可纳入应用弹性力学。可见，虽然弹性力学和材料力学都研究杆状构件，但前者所获得的结果是比较精确的。

为了阐明一个弹件力学问题，需要说明物体的形状和物体的各部分由什么材料组成（直接给出物体各部分的广义胡克定律当然更好）；说明物体所承受的载荷，包括体积力fi、自由边界上的载荷；说明此物体和其他物体的连接情况。例如，所考虑的对象是物体Q，它在边界B1和B2同另两个物体Q1和Q2相连接。如果Q1的刚度比Q大得多，则B1上各点的位移就基本上由Q1的位移决定。这样，对Q来说，B1上各点的位移是由外界给定的，因而有位移边界条件（2）。如果Q2的刚度比Q小得多，则Q2基本上不能限制B2上各点的位移。这样，对Q来说，B2可看作是自由的，因而有载荷的边界条件（9）。如果Q1或Q2的刚度同Q相差不多，要建立恰当的边界条件就不那么容易，须就具体情况作细致的分析。

对弹性力学的平衡问题，说明上述三个方面便可以了。但对弹性力学的动力问题，还需说明物体的初始状态，即

当t=t0时，

式中t0为初始时间，ut0和vt0分别为物体在初始时刻的位移和速度，它们应是给定的函数。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上说，只有15个函数全部确定后，问题才算彻底解决。但在各种具体问题中，常常只关心其中的某几个函数，有时甚至只关心物体的某些部位的某几个函数。所以在实用上，常常不需要确定全部函数。求解时，可用实验方法、数学方法，也可用实验和数学相结合的方法。

实验方法是用机械的、电的、光的以及其他手段在实物上或在模型上测量所需的量。许多复杂而难于计算的问题都是用实验方法求解的（见实验应力分析）。

数学方法就是根据几何方程（1）、应力应变关系（3a）或（3b）、运动（或平衡）微分方程（5）、边界条件（2）和（9）以及动力问题中的初始条件（10），解出ui、、等15个函数。学方法的优点是提供的数据比较全面，但当前只适用于不太复杂的问题。这方面的研究构成了以数学方法为主要研究手段的数学弹性力学。

对于一些实用上重要的弹性力学问题，常需要同时用实验和数学两种方法求解，以保证结论的可靠性。

弹性力学中常用的数学方法可分分成两类：

①精确解法 包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。

对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具《柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。

②近似解法 为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法，能量法就是其中用得最多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题（泛函的极值和驻值问题），然后再用瑞利-里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。

数学弹性力学的典型问题 有以下几类：

①一般性理论 它探讨解的共性和一般性的求解方法。一般性理论中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虚功原理（虚位移原理、虚应力原理）、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯纳二类变量广义变分原理和胡海昌津久一郎三类变量广义变分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收敛性等，也都和能量原理有密切联系。这些一般性理论，是建立各种近似解法和建立工程结构实用理论的依据。

一般性理论的另一重要方面是未知函数的归并理论，其主要内容是将弹性力学问题归为求解少数几个函数，这些函数常称为应力函数和位移函数。

②柱体扭转和弯曲 一个侧面不受外力的细长柱体，在两端面上的外力作用下会产生扭转和弯曲。根据圣维南原理，柱体中间部分的应力状态只与作用在端面上载荷的合力和合力矩有关，而与载荷的具体分布无关。因此，柱体中间部分的应力有以下的表达式：

这里的x、y轴为横截面的两个主轴；z轴平行于柱体的母线；为应力分量，A为横截面的面积；Ix和Iy为横截面对x轴和y轴的惯性矩（见截面的几何性质）；N、Mx和My分别为作用在截面上的轴向合力、对x轴和y轴的弯矩。弯矩Mx、My是坐标z的线性函数，可用材料力学的方法求得。式（11）给出的与材料力学的解相同，但给出的剪应力比材料力学的结果精确。决定的问题最后可归为求解一个平面调和函数的边值问题。

③平面问题 平面问题是弹性力学中发展得比较成熟，应用得比较广的一类问题。平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。两者的应用对象不同，但都可归为相同的数学问题——平面双调和函数的边值问题.

图1 平面应力问题

平面应力问题适用于薄板。若在薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有沿厚度均匀分布的载荷（图1），则薄板中的位移和应力有如下特点：

且以及x、y方向的位移u、v都与坐标z无关。对于各向同性材料，上述五个不等于零的量可以用一个应力函数φ（x，y）（艾里应力函数）表示为：

而应力函数φ是一个平面双调和函数，即

平面应变问题适用于长柱体的中间部分。若柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的载荷和坐标z无关，且合力及合力矩等于零（图2），则柱体中间部分的应力和位移有如下特点：

纵向位移ω=0，且、u、v与坐标z无关。对于各向同性的材料，上述五个不等于零的量也可用一个双调和函数φ表示为公式（13），不过须将其中的E和v分别代以

图2 平面应变问题

④变截面轴扭转变截面轴受扭时，在截面的过渡区（图3）常有应力集中现象。分析这类问题以取圆柱坐标系（r，θ，z）为方便。在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量分别记为u、v、w和

这类问题的力学特点是： u=w=0和

v、和与坐标z无关。上述不等于零的两个剪应力和可用一个应力函数（r，z）表示为：

而满足下列偏微分方程：

这类问题最后归为方程（15）的边值问题。

图3 变截面轴的过渡区示意图

⑤回转体的轴对称变形各向同性的回转体在轴对称载荷作用下，必然产生轴对称的变形。在圆柱坐标系（r，θ，z）中，轴对称变形的特点是：v=0，=，且u、w、、、和与坐标θ无关。上述不等于零的六个量，可以用一个位移函数（x，y）表示为：

其中△是轴对称的拉昔拉斯算符，即

而是轴对称的双调和函数，即

⑥工程结构元件的实用理论 从广义上说，各种工程结构元件的实用理论（如杆、板、壳的实用理论）都是弹性力学的特殊分支，而且是最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点，对位移分布作一些合理的简化假设，对广义胡克定律也作相应的简化。这样，就能使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特性。从弹性力学看，这些结构元件的实用理论都是近似理论，其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。