泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的阿德利昂·玛利·埃·勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。

法国科学家S.-D.泊松求解哈密顿正则方程时所用的一种数学符号，它定义为：

式中和是2N个正则变数的两个任意函数。泊松栝号经正则变换是不变的，即

①

②

③,c为常数；

④；

⑤；

⑥

⑦正则方程可用泊松括号写作：

⑧任一函数的全微分可写作：

⑨正则方程的第一次积分可写作：

泊松括号在量子力学中用来表示两个算符的对易关系乘上（h是普朗克常数，）。

例如对算符合和有：这样，量子力学中对力学量，上面⑨中的关系式依旧成立，即，

式中是厄密算符。

哈密顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由约瑟夫·拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。

适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。

哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维是位置空间。拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的阿德利昂·玛利·埃·勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。

任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。

该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。

哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。

当余度量是退化的时，它不是可逆的。在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。但是，哈密顿量依然存在。这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。

这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。

哈密顿系统可以几种方式推广。如果不仅简单的利用辛流形上的光滑函数的结合代数，哈密尔顿系统可以用更一般的交换酉实泊松代数表述。一个状态是一个（装备了恰当的拓扑结构的）泊松代数上的连续线形泛函，使得对于代数中的每个元素映射到非负实数。