不等边三角形
三条边都不相等的三角形
不等边三角形(scalene triangle),又称不规则三角形,是指三条边的长度都不同的三角形。这种三角形的三个内角也各不相同,反之亦然。不等边三角形可以是直角三角形钝角三角形锐角三角形,是对称性最低的三角形类型,不具备点对称点和线对称轴。
简介
三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。它的内角总是各不相同,这一特性使得大多数随机绘画的三角形都是不等边的。
性质
不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点。不等边三角形的性质大多与其他三角形相同,例如面积公式等,但它是所有三角形分类中对称性最低的。为了证明上述性质,先说明几个引理
引理1:中为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足三线段之中点九点共圆,且线段之中点连线线段的中点是九点圆圆心。
引理2:设外心为O、垂心为H、则线段OH之中点是九点圆圆心。
引理3:的内心是其旁心三角形的垂心。
引理4:设不等边的外心为O、垂心为H、内心为I、界心为K。则OI平行且等于二分之一的KH。
性质证明:
设不等边的旁心三角形为(如图1),分别为外心、内心、垂心、界心。由引理4,OI平行且等于二分之一的KH;由引理3及其证明过程知,内心I为旁心的垂心,且直线,直线,直线,又由引理1知,九点圆圆心为外心O;设外心为M,由引理2,有外心M与垂心I的连线线段中点应为九点圆圆心O,故共线且。由OI平行且等于二分之一的 KH,有MI平行且等于KH,即四边形MIHK为平行四边形。故△ ABC的内心I、垂心H、界心K及旁心三角形的外心M构成平行四边形的四个顶点。命题得证。
与其他三角形的关联
等边三角形等腰三角形和等边三角形的关联为互斥集。如果一个三角形有两个内角角度相同,它将是等腰三角形,如果所有内角角度相同,则为等边三角形。不等边三角形的条件是三边不等长当且仅当三个角不相等,这意味着它的角可以是钝角、直角或锐角。部分教科书会将直角三角形独立成一类,不将其归类为不等边三角形。
参考资料
目录
概述
简介
性质
与其他三角形的关联
参考资料