柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画出了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力！。奥古斯丁-路易·柯西积分公式本身就是 柯西积定律是理最直接、最重要的推论。其证明过程是很简洁的。这是解析函数与一变量微可微函数本质区别。其公式如右图所示，它给出了一个很有用的估计导数的方法.

柯西积分公式本身就是 柯西积分定理最直接、最重要的推论。利用我们所熟知的 柯西积分定理，

其证明过程是很简洁的。在此不再赘述。

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理，以下就是重要的几个例子：

平均值定理

如果函数f（z）在圆│ξ-Zo│

解析函数无穷可微性

一个解析函数不仅有一阶偏导数, 而且有各高阶导数, 它的 值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导数存在了. 而利用柯西积分公式可以做数学归纳法证明如下定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:(见右图) n！/ 2πi （ ∮c f（z）/（z-Zo）^(1+n) dz）由定理可知，由函数在区域D内的 解析性，不仅推出其导数的连续性，而且也推出其各阶导数在D内存在且连续。这是解析函数与一元实变量可微函数本质区别。这便是解析函数所具有的极好的性质，也使得人们对它的研究更具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力!

其公式如右图所示，它给出了一个很有用的估计导数的方法.

Liouville定理

有界整函数必为常数。利用柳维尔定理可以行反证法简洁证明代数基本定理：一元n次方程在复数域内必有解

Morera定理

即柯西积分定理的逆定理:(柯西积分定理：设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。)如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有∮c f(z) dz =0那么f(z)在区域D内解析。他刻画了解析函数的又一种定义.

设C为任意简单逐段光滑曲线,f(ξ)是在C上有定义的可积函数，则具有如下形式的积分称为奥古斯丁-路易·柯西型积分:

1 / 2πi （ ∮c f（ξ）/ξ-z dξ） z不属于C

对于复变函数的研究颇具意义