弱引力透镜（weak gravitational lensing）是从遥远的背景星系发出来的光被前景星系轻微扭曲之后产生的一种像的形变效应。它是一种可以反映宇宙物质密度扰动的纯引力效应，不同于强引力透镜（stong lensing）或微引力透镜(micro lensing)的是这种效应没有产生爱因斯坦环或者弧形扭曲那样强烈的形变。弱引力透镜是由于宇宙物质密度场的扰动透过广义相对论效应所引起的空间弯曲所产生的一种光学现象，由阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论和物质扰动功率谱来描述。

弱引力透镜效应可以通过一个雅可比变换来描述，即将源点和像点的坐标进行变化得到的矩阵。在这个矩阵里面，有两个重要参量κ(被称为convergence)和γ(被称为shear)。前者用来描述像的放大或者缩小，后者用来描述像的扭曲，它也是个复参量。其实，一般还有一个参量是ρ(被称为rotation)，通常是描述像的旋转，由于这种效应很难观测出来，所以一般在弱引力透镜效应中不予考虑。

理论上是通过在弱引力场度规下光的测地线方程来解出这两个参量和引力场的关联的。于是我们可以运用现有的物质分布理论来估计弱引力透镜效应的强度，并透过观测来约束理论计算中所用到的理论参数。其中，在宇宙学中，对弱引力透镜效应最敏感的两个参数是暗物质（Dark Matter）密度Ω和物质功率谱（Matter 功率 Spectrum）的振幅σ8. 为了更好地把观测量和理论量拿来比较，科学家一般把剪切（shear）的功率谱的观测值和理论值拿来比较。因为在没有源星系的真实形状的条件下，观测单个星系的形变是不可能的。所以，在宇宙学研究里，大家一般会假设背景星系可以被刻画成椭圆，而且这个椭圆的轴的方向是随机的，这样我们就可以在统计一部分天区的星系形状之后发现这些背景星系轴的方向和随机场的偏离，这个偏离就可以用shear的功率谱来描述。

为了消除其他可能对星系的像产生同样扭曲的效应，科学家一般会对引力场进行E/B分解，就是把引力场分解为类似电场分量和磁场分量的两个分量，前者有散度无旋度，后者有旋度无散度。由于弱引力透镜效应几乎不产生B分量，所以，所观测到的B分量基本上都是其他原因诸如仪器，星系的内部耦合（intrinsic alignment）等造成的。所以，E/B分解技术可以有效地减小系统误差。

弱引力透镜的历史最好还是从引力透镜的历史开始，而引力透镜的历史可以上述到19世纪初Soldner在1804年用艾萨克·牛顿引力理论来计算光子经过太阳表面之后的偏折。但阿尔伯特·爱因斯坦（阿尔伯特·爱因斯坦）在完成了他伟大的广义相对论场方程之后就计算出来光子在经过太阳表面的偏折角是1.7弧秒。而这个预言由亚瑟·埃丁顿在1919年的一次日食观测中所证实。爱因斯坦认为这种引力效应对背景天体产生的形变是非常微小而难以察觉的。然而，1937年Zwicky由维里定律发现星系质量达到千亿个太阳质量的量级，这就足以使得背景星系产生强烈的形变了。1964年Refsdal在一篇模拟引力透镜的文章中发现可以透过测量引力透镜所产生的两个像的时差来计算哈勃空间望远镜常数。但直到1979年，Walsh等人才第一次发现由引力透镜效应所产生的两个类星体的像，即QSOA,B。而1986年Paczynski首次提出恒星对恒星也可以产生类似的效应，这种效应就是所谓的微引力透镜效应，直到上个世纪90年代才被几个小组发现。而最激动人心的是1987年由Hewitt等人在射电波段发现了爱因斯坦环，这种环可以用来精确测定引力透镜的物质分布。

以上所述都是点源天体作为透镜，下面我们会考虑面源作为透镜的历史发展情况，其中重要的是星系团和星系甚至大尺度结构作为透镜的例子。星系团的引力透镜效应虽然提出很早，但直到1987年在A 370和Cl 2244这两个星系团中发现了绿色的亮弧，科学家才证实了这种透镜的观测事实。Tyson在1984年首先提出了星系与星系间的透镜效应（galaxy-galaxy lensing）,这种效应一直等到2000年的时候，才由Fischer和他所在的小组透过统计的方法证实。这种方法现在已经非常成熟，可以用来和其他观测手段一起来探测宇宙的物质分布并约束宇宙学参数。大尺度所带来的引力透镜效应早在1967年就已经提出，但由于这种效应太弱，而且高精度的大尺度中国空间站工程巡天望远镜有诸多困难，所以直到2000年才又四个小组分别测出宇宙学剪切（shear）。这种效应就是我们经常用来测量宇宙学参数的弱引力透镜效应。

星系团透镜就是以星系团作为透镜来研究弱引力透镜效应，这种研究可以反映星系团的物质分布。而且由于星系团里面80%的成分是暗物质，所以，用这种方法可以很好的反映暗物质的分布和性质。较著名的透镜星系团有Abell 1689, CL0024+17和子弹头星系团（Bullet Cluster）。

星系团透镜所产生的弱的像的形变通常被噪声和形变的微弱性所影响，直到1993年Kaiser和Squires发展出一套统计方法来用这种弱形变来计算透镜物质的分布。这套统计方法的关键是用可观测的背景星系的椭率的平均并透过傅立叶变换来得到γ（shear）的分布，并进一步得到透镜的物质分布Σ。但实际应用当中会遇到很多困难，比如一些由大气扰动，点扩散函数（Point Spread Function），望远镜的像散以及星系团的椭率耦合（intrinsic ellipticity alignment）等带来的一些系统误差。而这个方法最大的弱点是它并不是直接测量γ，而是测量椭率ε的平均值，这个值是与shear和convergence都有关的一个量，所以，当雅可比矩阵乘于一个标量时，椭率是不变的。这样就会对shear的测量产生误差。解决的办法是不仅测背景星系的椭率，而且也测量它们的放大率。放大率的测量可以通过比较有透镜天区星系的数目和无透镜天区的数目比值或者比较同样亮度两个此星系团尺度大小的区域里面星系尺寸的比较来测定背景星系的平均放大率。这样就可以消除这种物质薄片耦合（质量 Sheet Degeneracy）所带来的误差。

星系团透镜可以用来限制暗物质模型，子弹头星系团是最好证明暗物质存在的证据。因为由X射线观测的物质分布和引力透镜观测到的物质分布有差异，这种差异可以很好说明两个星系团碰撞过程中暗物质和可见重子物质的不同相互作用，进而证明暗物质的存在。星系团透镜可以用来对星系团中国空间站工程巡天望远镜，进而得到在不同红移处星系团数目的分布，而这个分布与宇宙学相关参数很相关，所以，也可以用这种方法来限制宇宙学参数。

星系与星系之间的透镜效应（galaxy-galaxy lensing）就是由场星系（field galaxy），即不在星系团中的星系，作为引力透镜对背景星系的引力效应。这种透镜所产生的形变大概是1%左右，介于星系团透镜和大尺度所产生的信号之间。但由于背景星系的噪声影响，这样的信号只能透过观测多个场星系的背景星系（称之为堆栈stacking）来获得足够强的信噪比（signal to noise）。处理数据的方法和星系团透镜处理数据的方法类似。星系与星系间的引力透镜效应可以用来测量透镜星系（galaxy lens）的物质分布（质量 density profile），质光关系（质量to-light ratios），星系质量演化（galaxy mass evolution）和不同类型星系的演化等。

在没有星系团或者星系作为透镜的情况下，由于大尺度结构所造成的引力场也会使得光线有微小扭曲，所以，这种非常微弱的效应是一种可以用来测量宇宙物质分布的引力透镜效应。大尺度所产生的像的扭曲在0.1%-1%之间，所以必需由大量的样本来保证信噪比。而且由于宇宙只有一个，所以在统计大尺度的物质分布的时候会产生一种叫做cosmic variance的统计误差。现在，用来限制宇宙学参量的宇宙学剪切（cosmic shear）的观测和统计目标就是排除其他的系统误差，使得误差的水平可以与cosmic variance的误差接近。

现在大尺度的弱引力透镜效应已经成为和其他宇宙学研究手段并行的一个观测手段，并且透过红移切分（redshift bins)来研究不同红移处宇宙的物质分布（tomography）。现在已经有Dark 能量 Survey, Pan-STARRS, 和 LSST这几个望远镜计划透过这种方式来研究宇宙的暗物质分布和宇宙演化历史。

除此以外，宇宙微波背景辐射（CMB）和21cm背景辐射（ 21cm line radiation）也可以作为引力透镜的背景源，这种源不同于星系这样的分离的有椭圆形状的面源，他们是连续的而且是在高红移处的，所以比较适合用来研究高红移处的宇宙物质分布。

弱引力透镜作为研究物质分布的工具最大的优点在于它不受重子物质对光子作用的影响，可以反映透镜中只有弱作用的暗物质质量的分布。而且由于它主要用来测量低红移处（z\u003c3）的宇宙结构，而这个时期的宇宙是暗能量占主导的，所以，可以用弱引力透镜的方法很好地刻画暗能量状态方程（equation of state）的演化行为。如果透过更精确的对星系光度红移（photometric redshift）测量得到背景源的三维信息，那么这种方法会得到比二维的宇宙微波背景辐射更优越的统计效果。而且，这种三维信息可以帮助我们消除星系间的椭率耦合（intrinsic ellipticity alignment）。不仅如此，由于这种方法和现在普遍采用的宇宙微波背景辐射（CMB）和大尺度巡天(Large Scale Survey)的方法是相互独立的，所以可以把他们联合起来约束宇宙学参数或宇宙学模型。