在向量空间范畴，对象之间的同态都是线性映射。但其实我们经常会碰到“双线性映射”这种概念，比如内积就是一个双线性映射 V x V --\u003e C. 我们希望把“双线性”这种性质归于向量空间范畴。一个办法就是，构造一个跟 V, W 有关的向量空间 Z，使得所有定义在 V x W 上的“双线性映射”都可以由“唯一”一个定义在 Z 上的“线性映射”来代替。这个 Z 就叫 V 和 W 的张量积。
后来的发展表明，“张量积”可以扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定结合规则和交换规则的操作都可以视为“张量积”，比如集合的
勒内·笛卡尔积，无交并，拓扑空间的乘积，等等，都可以被称为张量积。带有
张量积操作的范畴叫做“张量范畴”。张量范畴现在被视为量子不变量理论的形式化，从而应该同量子场论，弦论都有深刻的联系。