正交群是数学中的一个重要概念，它在几何学、群论和物理学等领域中都有广泛的应用。正交群可以定义在不同的数域上，包括实数域、复数域和有限域。在实数域上，正交群和特殊正交群是李群，具有重要的拓扑和代数性质。正交群的研究不仅涉及到几何变换的性质，还与线性代数、代数拓扑和数学物理等多个数学分支紧密相关。

正交群又称正交变换群，是欧氏平面内所有正交变换的集合构成的群。在数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由所有满足^TQ = QQ^T = I^T单位矩阵。实数域上的经典正交群通常记为O(n)。

正交群具有以下性质：

1. 恒等变换是正交变换。

2. 正交变换的逆变换是正交变换。

3. 两个正交变换的乘积仍然是正交变换。

特殊正交群SO(n,F)是正交群O(n,F)的正规子群，由所有行列式为1的正交矩阵组成。在特征不为2的数域上，特殊正交群在正交群中的指数是2，即正交群的每个元素要么属于特殊正交群，要么通过乘以-1变为特殊正交群的元素。

欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质的几何分支，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏几何学。正交群在欧氏几何中的作用体现在它能够将平面上所有的图形分类，凡合同的图形属于同一等价类。

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)是n(n-1)/2维的实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是包含单位矩阵的连通分支。O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，由其中保持原点不动的等距组成。SO(n,R)是E+(n)的子群，由其中保持原点不动的等距组成。

保持R^3原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成旋转和反射等类别。群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。

正交变换也是共形变换，即保持角度不变的变换。R^n的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。

正交群也能定义在有限域F_q上，其中q是质数p的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：O^+(2n,q)和O^-(2n,q)；奇数维有一类：O(2n+1,q)。

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素F*/F*^2的同态，对实数域上的正交群是平凡的。

代数群的伽罗瓦上同调理论提供了对正交群更深入的理解，特别是与二次型理论的联系。

在物理学中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。例如，O(n)包含O(n-1)，O(2n)包含SU(n)和USp(n)，O(7)包含G_2等。

正交群O(n)也是一些李群的重要子群，如SU(n)、USp(2n)、G_2、F_4、E_6、E_7和E_8。群O(10)在弦律中非常重要，因为它是10维时空的对称群。