绝对值不等式(一种数学公式)

绝对值不等式

一种数学公式

绝对值不等式，即绝对值符号里包含有未知数的不等式，是数学分析中研究问题常用的工具之一。不等式叫作基本绝对值不等式。

对于任何实数a、b，有，当且仅当时，

（1）

（2）

与等价（与等价）（3）

参考资料：

性质

表示数轴上的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1、

（b≠0）

2、可逆推出

，当且仅当时左边等号成立，时右边等号成立。

另外有：

几何意义

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(表示与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

公式

绝对值重要不等式推导过程：

我们知道;

因此，有：

......①

......②

......③

由①+②得：

即 ......④

由①+③得：

即 ......⑤

另：

由④知：

.......⑥

.......⑦

.......⑧

.......⑨

由⑥，⑦得：

......⑩

由⑧，⑨得：

......⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值(absolute value)的重要不等式：

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

注：

同理可得

另“→”指可双向推出

解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。

以下，具体说说绝对值不等式的解法：

其一为平方，所谓平方，比如，，可化为，绝对值符号没有了！

其二为讨论，所谓讨论，即时，|；时，，绝对值符号也没有了！

说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

其三为数形结合法，即在数轴上将各点画出，将数转换为长度的概念求解。

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