椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆映射定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。设P是向量丛E到F的k阶微分算子，若其象征σ(P)是一个同构，就称P为椭圆算子。

椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。双曲方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。若P为椭圆算子，则P*也是椭圆算子。设P∈PDiff(E,F)，若σ(P)(x,ξ)对于所有的x∈X都是从E到F的一个同构，ξ∈(T*X)\{0}，则称P为椭圆算子。k阶椭圆算子全体记为Ell(E,F)。

在数学中，导数映射是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。当然也有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性情形。

(isomorphism)

在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。常见的同构有：自同构，群同构，环同构，域同构，向量空间同构。

在{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}域{\displaystyle \Omega }上的线性微分算子{\displaystyle L}定义为

{\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}

被称为椭圆算子，如果对任意{\displaystyle x\in \Omega }，任意非零{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}满足

{\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}。

椭圆性只依赖于最高阶项。当{\displaystyle m=2k}时，一致椭圆条件为

{\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\u003eC|\xi |^{2k},}

其中C是正常数。非线性映射

{\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}

是椭圆算子如果它关于{\displaystyle u}的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

二阶偏微分算子的形式为

{\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }

其中{\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}.如果高阶项系数矩阵

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)\u0026a_{12}(x)\u0026\cdots \u0026a_{1n}(x)\\a_{21}(x)\u0026a_{22}(x)\u0026\cdots \u0026a_{2n}(x)\\\vdots \u0026\vdots \u0026\ddots \u0026\vdots \\a_{n1}(x)\u0026a_{n2}(x)\u0026\cdots \u0026a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}

为正定实系数对称矩阵，则这样的映射称为椭圆算子。