波动方程(一种重要的偏微分方程)

波动方程

一种重要的偏微分方程

波动方程或称波方程（英语：wave equations）由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。

波动方程介绍

历史上许多科学家，如让·达朗贝尔、莱昂哈德·欧拉、丹尼尔·伯努利和约瑟夫·拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。

弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。

方程形式

对于一个标量（quantity）的波动方程的一般形式是：

这里通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：

注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。

, 是振幅，在特定位置和特定时间的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。是相对于位置变量的拉普拉斯算子。注意可能是一个标量或向量。

如，一维波动方程：

二维波动方程：

三维波动方程：

方程的解

对于一维标量波动方程的一般解是由让·达朗贝尔给出的：其中和为任意两个可导数的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。

要决定和必须考虑两个初始条件：

这样达朗贝尔公式变成了：

在经典的意义下，如果并且则

一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为的小质点的队列，互相用长度的弹簧连接。弹簧的硬度为:

这里测量位于的质点偏离平衡位置的距离。对于位于的质点的运动方程是：

其中的时间依赖性变成显式的了。

要点分析

如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零，且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得

上述式子称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中

在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即，于是和的微分方程成为

称为波动方程或达朗贝尔方程。

波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。

标量波动方程应用直角坐标系

可以把③写成

即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程，每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果，在其它坐标系中，通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。

亥姆霍兹方程在场源按正弦曲线规律随时间变化的条件下，场量也是同频率的正弦函数，可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发，可以推导出相量形式的波动方程：

式中：

式⑧与⑨又称亥姆霍兹方程。

物理意义

波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

参考资料