有限单群是指对于一个有限群G，当g为群G的任意元素，用g来左乘（例如若对A，就意味着gA）每一个元素的结果组成的集合与用g右乘（如Ag）每一个元素的结果组成的集合总是相同的，那么称这个有限群G是正规的。假如对一个已知有限群G的所有子群，只有它本身与不变群（只有单位元素的群）是正规的，那么称它是一个有限单群。

素数p阶循环群Zp，它包括了所有的交换单群。

n个文字的所有偶置换构成的交错群An，当n≥5时是非交换单群。

李型群是复数域上单李群在有限域上的相似物，不全是单群。它包括有限域上某些典型群、例外群和扭群。前两者也称为谢瓦莱群，共有9个族，它们的记号是Aq),n≥1；Bq),n\u003e1；Cnq)，n\u003e2;Dnq),n\u003e3;G2q)；F4q);E6q);E7(q);E8q)。这q=pm，p是素数。以下的q也有此意义。除了A1(2)、A1(3)、 B2(2)、G2(2)外，这些群对其中心的商群都是有限单群。这些群中的大部分，E.埃瓦里斯特·伽罗瓦、C.若尔当、L.E.迪克森等已早有研究。直到1955年，C.谢瓦莱对任意有限域GFq)构造出复数域上单李群的相似物，用统一的方法证明了这些群的存在性、单纯性和其他性质。扭群共七族，它们是2An(),n\u003e1；2B2(),=2；2Dn()，n\u003e3；3D4(q)；2G2()，=3；2F4(),=2;2E6()。除了2A2(2)、2B2(2)、2G2(3)、2F4(2)外，它们都是单群。而2F4(2)的换位子群(2F4(2))┡还是不在以上几族中的一个特殊单群。利用谢瓦莱群的图自同构和域自同构可以统一地得到所有扭群，如R.施坦伯格、铃木通夫、R.雷和J.蒂茨等人的工作。在以上群中An()、Bn()、Cn()、2An()分别同构于GF()上的典型群PSLn+1()、PΩ2n+1()、PSP2n()和PSUn()。而Dn()和2Dn()分别同构于和（对每个 有两族2n维的正交群，以“+”和“-”两个符号来区别）。谢瓦莱群中的G2()、F()、E6()、E7()、E8()则是例外群。

凡不属于以上三类的有限单群, 称为零散单群，共有26个。É.L.马蒂厄于1860年和1873年先后得到5个多重传递置换群M11(4重)、M12(5重)、M22(3重)、M23(4重)和M24(5重)，它们都是零散单群。一百年之后，Z.简科于1965年才发现了另一个新的零散单群，记为J1。尔后陆续地发现了所有的零散单群，仿照前者，一般以重要发现者的姓的前面字母来记各零散单群，若同一人发现多于一个这样的群时则加上数字的下标，它们是最大的零散单群为F1，名为怪物群或魔群，它的阶为2^46·3^20·5^9·7^6·11^2·13^3·17·19·23·29·31·41·47·59·71,约为10^54。G.格里斯用手算，从47·59·71=196883维的线性表示而得到一级方程式锦标赛。它有着良好的内在的几何结构，并且有20个左右的零散单群作为它的子群，所以并不是什么怪物，G.格里斯改称它为“友好巨人”。

研究有限单群的一般方法，可非常概括地归结为以下几种：

-模特征标论和特殊特征标论方法，前者为R.（D.）理查德·布饶尔所创，后者为布饶尔和铃木通夫所创。

-p局部子群分析法。它是由J.G.汤普森等人建立和发展起来的研究非单位p子群的正规化子的方法。

-几何分析法及其发展。此法是由B.费希尔和M.阿施布歇尔等所创。

有限单群的完全分类问题是数学史上的一项重大成就，经过全球上百名数学家大约四十年的努力，最终在1981年得到了解决。这一分类的论证过程涉及5000页以上的文献，分布在超过300篇文章中，使用了许多新的群论概念和大量的定理。历史上的一些重要进展包括W.伯恩赛德关于pαqъ阶群(p、是素数)必是可解群的定理，这是早期重要的工作之一。布饶尔开创性的模特征标理论和J.G.汤普森等人发展的p局部子群分析法，都对有限单群分类产生了深远影响。1972年，D.戈朗斯坦提出了有限单群分类方案，指导了后续的工作。有限单群分类问题的解决对相关领域的问题产生了巨大影响，如O.施赖埃尔猜想有限单群的外自同构群是可解的，以及其他问题的解决。目前，研究人员正在进行多项研究，包括整理和简化有限单群分类问题的全部论证，探索F1和模函数的关系，以及将分类结果应用于解决其他数学问题。