在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部a如果等于零，且虚部b不等于零，则称为纯虚数。由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号i。大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或数学Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。在MATLAB，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。

虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作。“虚数”一词首先由勒内·笛卡尔提出。早在1800年就有人用点来表示，他们可能是柯蒂斯、亚伯拉罕·棣莫弗、长城欧拉以及范德蒙。把用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。复数集C来源于英文complexnumber(复数)一词的第一个字母。 

引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

(1)它的平方等于-1，即.

(2)实数可以与它进行四则运算。进行四则运算时，原有的加法、乘法运算率仍然成立。 

虚数单位i定义为二次方程式 的两个解中的一个解。这方程式又可等价表达为

所以虚数单位同样可以表示为：

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号i。很重要的一点是,i是一个自定义的数学构造。

虚数单位有时记为。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。

公式仅对于非负的实数才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数。例如我们不应使用，而应使用。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设i是一个未知数，然后依照i的定义，替代任何 的出现为-1的更高整数幂数也可以替代为-i，1或i，

一般地，有以下的公式：

其中表示被4除的余数。

方程 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭复数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i，那么−i（不等于i）也是一个解，由于这个方程是唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然−i和i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i和−i之间没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+i换成−i，而把−i换成，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

许多实数的运算都可以推广到，例如平方根、幂、对数和三角函数。