杨氏不等式又称Young不等式，Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法。
一般形式
等号成立当且仅当 .
加权形式
假设 是非负实数， ， ，那么
其中 任意小而 任意大。
当且仅当a=b时等号成立
Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法
证明
1.若b =0，不等式显然成立。
若b≠0， ,则该不等式变为
设，时，f严格递增，时，f严格递减，故f(t) f(1)=1-t，得证。
2.如果a\u003e0且b\u003e0，而数p,q满足：1/p+1/q=1，那么
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b，当p\u003e1
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b，当p\u003c1
可以先证明：x\u003e0时，
x^α-αx+α-1≤0，当0\u003cα\u003c1时；
x^α-αx+α-1≥0，当α\u003e1时；
f(x)=x^α-αx+α-1
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
当0\u003cα\u003c1时;
当x∈(0,1);f'(x)\u003e0;
当x∈(1,+∞);f'(x)\u003c0;
∴f(x)在x=1处取最大值，又f(1)=0，∴f(x)≤0
当α\u003e1时，
当x∈(0,1)时，f'(x)\u003c0，
当x∈(1,+∞)时，f'(x)\u003e0，
∴f(x)在x=1处取最小值，又f(1)=0，∴f(x)≥0
代入，x=a/b,α=1/p，得
f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1
当p\u003e1时，即0\u003cα\u003c1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b，得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
当p\u003c1时，即α\u003c0(p1(0\u003cp\u003c1)
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b
证明2：令f（a）=a^p/p+b^q/q-ab，
f′（a）=a^（p-1）-b
令f′（a）\u003e0，分2种情况
1、p\u003e1，a\u003eb^（1/（p-1））
f（a）\u003e=f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q\u003e=ab
2、0\u003cp\u003c1，a\u003c=b^（1/（p-1））
f（a）\u003c=f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q\u003c=ab
证毕