韩方腾生于大连的一个普通家庭，父亲是大客车司机，母亲是药店营业员。6岁时，韩方腾进入大连市足球学校，首三年他接受了前锋和后卫的训练。9岁时，他的身高已比同龄人高一头，于是改练守门员。小学毕业时，韩方腾选择了走踢球的路，与山东鲁能足球学校签约。但是，韩方腾在
山东泰山足球俱乐部没有获得过一线队比赛机会。2005年初，山东鲁能将他与多名年轻球员挂牌，不过他并没能够成功转会。
2006年，韩方腾转会
上海联城足球俱乐部，成为球队的第三门将。同年10月5日客场对阵沈阳金德的比赛，由于主力门将
王大雷参加中国国家队和
中国国家青年足球队的集训，第二门将
董雷受伤不能上场，韩方腾得到出场机会，首次在
中国足球协会超级联赛亮相。申花联城合并后，韩方腾成为
上海申花足球俱乐部球员。2007年他被外租到乙级队
苏州趣普仕足球俱乐部。2008年初，韩方腾被上海申花挂牌，不过最终留队报名参加2008年中超联赛，身披36号球衣。这个赛季中，他没有获得出场机会。2009年，他又被租借到
中国足球协会乙级联赛球队
青岛青科足球俱乐部效力。
2010年，韩方腾租借加盟另一支乙级球队
绍兴柯桥越甲足球俱乐部。2011年，哈尔滨毅腾正式签入韩方腾。这一年，韩方腾作为主力门将，帮助球队升入
中国足球协会甲级联赛。2012赛季后期，他成为球队队长。2013年7月，球队在
足协杯赛第三轮客场2比5输给当时在
中国足球协会超级联赛的
青岛中能足球俱乐部，之后的几场比赛韩方腾丢掉了首发门将位置，被当年新引进的
郭纯泉代替。这一年，他又帮助球队升上中超。2014年初，毅腾俱乐部宣布成功与韩方腾续约。这个赛季，毅腾俱乐部排名中超联赛倒数第一，降回了中甲。赛季中，韩方腾与郭纯泉轮换上场。