Arakelov不等式是Arakelov理论中的重要不等式。原始的不等式没有上述不等式那么精确，而是如下表达形式：

χ_f\u003c（g-q_f）(b-1+s/2).

这里q_f=q(X)-b, q(X)=h^1(O_X)是曲面非正则性。

这一不等式也可以改进为：

χ_f\u003c（g-q_f）(b-1+r/2).

这里r是奇异雅可比纤维的个数。所谓奇异雅可比纤维就是指其组合结构所对应的对偶图含有圈。显然r≦s.

值得注意的是，此处纤维化是半稳定纤维化 这一条件较为重要。如果不是奇异纤维不是半稳定纤维，那么不等式需要改为：

χ_f\u003c（g-q_f）(b-1+r).

注记：上述这些形式并非原始的Arakelov不等式，见下述背景介绍。

χ_f\u003cg(b-1+s/2).

建立这一不等式的初衷是为了给出算术代数几何中的高度不等式。所谓高度不等式，在经典代数几何理论--特别是代数曲面理论-中，相当于Vojta不等式（也就是典范类不等式）这一类型的不等式。

曲面情形的Arakelov不等式目前的改进形式，来自于谈胜利、左康和E.Viehweg的合作工作。事实上，这一不等式可以写为一个精确的等式，其误差部分，与Hodge数h^{1,1}(X)的估计有关。

Arakelov不等式高维情形的深刻推广来自于左康和E. Viehweg的著名工作。设f:X→C是一般纤维为n维代数簇的纤维化， C是亏格b的底曲线，奇异纤维个数s。由多重典范线性系|νK_{X}|诱导的关于f的正向层记为E. 设F是E的秩为k的子层。那么我们有

deg F≦(nνk)(b-1+s/2).

如果考虑曲面情形，那么这一不等式的极限情形蕴含了典范类不等式，而后者又等价于开曲面情形的宫冈-丘不等式。反过来，典范类不等式结合肖刚不等式 可以推出原始的Arakelov不等式。

考虑曲面情形。设f:X→C是半稳定的亏格g纤维化, 底曲线是射影直线P^1(也就是亏格0的代数曲线，或者也可看成扩充复平面)。那么我们得到如下结论:

(1) f至少有4条奇异雅可比纤维，因此也就至少有4条奇异纤维；

(2) 如果恰好有4条奇异雅可比纤维，那么曲面亏格p_g(X)=0, 非正则性q(X)≦1.

进一步还可以得到精确的充要条件，这里限于篇幅，不再详细叙述。

一个曲面纤维化如果只有两条奇异纤维，且底曲线是射影直线，那么由上述推论可知，该纤维化必为isotrivial纤维化。