正数
数学中比0大的数
正数(positive number)又称正实数,是数学术语,在数学上是指大于0的实数。正数前面有一个符号“+”,通常可以省略不写,如果数字前面没有符号,通常意味着该数字是正数,像8848.43、100、357、78这样的数是正数。在数轴上表示正数的点都在数轴上原点(0)的右边。0既不是正数也不是负数
中国是世界上最早给出正负数运算法则的国家,中国古代的经典数学著作《九章算术》中有关于“正负术”的记载,魏晋时期的数学家刘徽对此注释有:“正算赤,负算黑,否则以邪正为异。”,一般解释为在进行正负数的计算时,用红色算筹代表正数,黑色算筹代表负数,也有说法认为这里指的是用不同摆放方式的算筹代表正负数。
简介
正数有无数个,包括正有理数和正无理数。正有理数又包括正整数和正分数。
正数的几何意义:在数轴上表示正数的点都在数轴上原点的右边。
参见:负数(Negative),非负数(Nonnegative),加号(Plus Sign)。
详解
正数即正实数,它包括正整数、正分数(含正小数)、正无理数。而正整数只是正数中的一小部分。
正数不包括0,0既不是正数也不是负数,大于0的才是正数。
正数都比零大,则正数都比负数大。零既不是正数,也不是负数。则
正数中没有最大的数,也没有最小的数。
去除正数前的正号等于这个正数的绝对值,也等于这个正数本身。
如2、5.33、45等:+2的绝对值为2,5.33的绝对值为5.33,45的绝对值为45等。
分数也可做正数,如:
正数的平方根也用正数表示。(注:实数范围内负数没有平方根)
最小的正整数为:1
没有最小的正数。
例题1
我们在小学学过自然数;一个物体也没有,就用0来表示,测量和计算有时不能得到整数的结果,这就要用分数和小数表示。同学们还见过其他种类的数吗?
有两个温度计,温度计液面指在0以下第6刻度,它表示的温度是-6℃,那么温度计液面指在0以上第6刻度,这时的温度如何表示呢?
说明:我们为了区分零上6℃与零下6℃这一组具有相反意义的量,因而引入了负数的概念。
例题2
下面我们再看一个例子,从中国地形图上可以看到,有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰,图上标着8844M;
还有一个吐鲁番盆地,图上标着-155M。你能说出它们的高度各是多少吗?
提示:
中国地形图上可以看到,上述两处都标有它们的高度的数,图上标的数表示的高度是相对海平面说的,
通常称为海拔高度。8844表示珠穆朗比海平面高8844米,-155表示吐鲁番盆地比海平面低155米。
参考答案:珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米;吐鲁番盆地的高度是海拔-155米。
说明:这个例子也说明了我们为了实际需要引入正负数,是为了区分海平面以上与海平面以下高度,它们也表示具有相反意义的量。
由来
人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记账时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便,人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念,把余钱进粮食记为正,把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。
据史料记载,早在两千多年前,中国就有了正负数的概念,掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。比如,356摆成||| ,3056摆成等等。这些小竹棍叫做“算筹”,算筹也可以用骨头和象牙来制作。
中国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之。”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说:“正算赤,负算黑;否则以斜正为异”意思是说,用红色的小棍摆出的数表示正数,用黑色的小棍摆出的数表示负数;也可以用斜摆的小棍表示负数,用正摆的小棍表示正数。
中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中,最早提出了正负数加减法的法则:“正负数曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”。
正负数的加减法则是:同符号两数相减,等于其绝对值相减,异号两数相减,等于其绝对值相加。零减正数得负数,零减负数得正数。异号两数相加,等于其绝对值相减,同号两数相加,等于其绝对值相加。零加正数等于正数,零加负数等于负数。”
这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的,负数的引入是中国数学家杰出的贡献之一。
用不同颜色的数表示正负数的习惯,用红色表示负数,报纸上登载某国经济上出现赤字,表明支出小于收入,财政上赚了钱。
负数是正数的相反数。在实际生活中,我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。夏天武汉市气温高达42°C,你会想到武汉的确像火炉,冬天哈尔滨市气温-32°C一个负号让你感到北方冬天的寒冷。
在现今的中小学教材中,负数的引入,是通过算术运算的方法引入的:只需以一个较小的数减去一个较大的数,便可以得到一个负数。这种引入方法可以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解。而在古代数学中,负数常常是在代数方程的求解过程中产生的。对古代巴比伦代数研究发现,巴比伦人在解方程中没有提出负数根的概念,即不用或未能发现负数根的概念。3世纪的希腊学者丢番图的著作中,也只给出了方程的正根。然而,在中国的传统数学中,已较早形成负数和相关的运算法则。
除《九章算术》定义有关正负运算方法外,东汉末年刘烘(公元206年)、宋代杨辉(1261年)也论及了正负数加减法则,都与九章算术所说的完全一致。特别值得一提的是,元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外,还给出了关于正负数的乘除法则。他在算法启蒙中,负数在国外得到认识和被承认,较之中国要晚得多。在印度,数学家婆罗摩多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根。而在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到十七世纪荷兰人日拉尔(1629年)才首先认识和使用负数解决几何问题。
与中国古代数学家不同,西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数。帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说。帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数,他说,那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢?直到1712年,连莱布尼兹也承认这种说法合理。英国数学家瓦里士承认负数,同时认为负数小于零而大于无穷大(1655年)。他对此解释到:因为时,英国著名代数学家德·摩根 在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点:“父亲56岁,其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍?”他列方程,并解得。他称此解是荒唐的。当然,欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数理论基础的建立,负数在逻辑上的合理性才真正建立。
中国人很早就开始使用负数,著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则,并给出名为“正负术”的算法。魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的筹算(小棍形状的计数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负。横为十,竖为个)
“正负术”是正负术加减法则。其中有一段话是“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。”其实他就是加减法则,以现代算式为例,可以将这段话解释如下:
“同名相除”,即同号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值减去减数的绝对值。例如:
“异名相益”,即异号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值加上减数的绝对值。例如:
“正无入负之,负无入正之”,即0减正为负,0减负得正。例如:
史料证明:追溯到两百多年前,中国人已经开始使用负数,并应用到生产和生活中。例如,在古代商业活动中,收入为正,支出为负;以盈余为正,亏欠为负。在古代农业活动中,以增产为正,减产为负。中国人使用负数在世界上是首创。
计算法则
+
,数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值
-
:如果实轴上正数1在正数2右侧,则结果大于0,为正数;否则小于0,为负数。
,等于其绝对值相加
总得来说,就是同号相除等于正数,异号相除等于负数。
相关内容
1. a的二次方,任何非零数的平方都一定大于0,即一定是正数。
2. a的绝对值()任何非零数的绝对值都一定大于0,即一定是正数。
3. 根号a,任何正数的开平方都一定大于0,即一定是正数。
以上三种是初中阶段常见的表示正数的方式,其中a不等于0,等于0另论。
参考资料
Positive and Negative Numbers.Newcastle University.2024-01-18
..2024-01-18
中国數学史中的正負數及其运算法則1.香港数学教育学会.2024-01-18
神禾原战国秦陵墓出土涂色算筹初识.中国历史研究院.2024-01-18
目录
概述
简介
详解
例题1
例题2
由来
计算法则
相关内容
参考资料