代数曲线，又称紧伯恩哈德·黎曼面。浅出地介绍了正则化定理，Riemann-Roch定理，Abel定理等代数曲线论的重要结果，以及这些定理的应用和重要的几何事实。亏格为2的黎曼曲面的超椭圆的，而亏格g的超椭圆黎曼曲面可实现为2g+2次平面曲线，这样就是六次曲线了，难道没有亏格为2就不能紧致吗代数曲线是代数几何学中研究得最多的对象。在下文中，代数曲线是指代数闭域上的不可约代数曲线. 最简单也是最清楚的是平面仿射代数曲线。它是仿射平面A;内满足方程f(x，y)=o的点集，这里f(x， y)是系数在代数闭域k里的多项式k上不可约代数曲线的有理函数。

代数曲线，又称紧伯恩哈德·黎曼面。它是紧的2维定向实流形，也就是复的一维流形。代数曲线是代数几何中最简单的一类研究对象。

每条代数曲线都自带了一个数值不变量－－－亏格g.    从实流形角度看，亏格就是其上“洞”的个数。

比如：

g=0 就成为射影直线；

g=1 称为椭圆曲线；

g=2 超椭圆曲线。。。。。。等等

比如

g=0的曲线模空间是由一个点组成；

g=1的曲线模空间是上半平面。。。。。。等等

曲线的模空间是代数几何里最重要的一类几何对象。

半纯函数的零点和极点的集合是由有限个点组成。我们把这个集合称为主除子。更一般的，我们可以定义除子的概念，这里不再详述。

与其相关的一个重要结果就是所谓的Riemann－Roch 定理。这个定理把分析和拓扑巧妙的联系起来，揭示出两者间的深刻关系。