中线定理(一种古老的数学定理)

中线定理

一种古老的数学定理

中线定理，又称阿波罗尼斯定理，是一种古老的定理，是指三角形一条边上的中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的两倍。

中线定理是由古希腊数学家兼天文学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262~190年）首先发现。中线定理公式表示为：设的边长，边上的中长线，则，即。

定理简介

中线定理（pappus定理），又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设是I线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

或作

证明

中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。

第一种

如图，

在△ ABC中，AI为BC边上的中线。求证：

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为（m，n），B点坐标为（-a，0），则C点坐标为（a，0）。

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D（m，0），E（0，n）。

由勾股定理可得

∴

又∵,

∴

又∵B（-a，0），C（a，0）,

∴

∴a²=

∴

第二种

如图，利用余弦定理来证明。

第三种

如图，AI是△ABC的中线，AH是高线。利用勾股定理来证明。

在Rt△ABH中，有

同理，有

并且

那么，

第四种

向量法证明中线定理。

如图，AI是△ABC的中线，分别取向量

则

注意到并且

∴得

另一个结论

在以上讨论中，通过两式相减，还可以得到|AB^2-AC^2|=2BC*IH。（H为垂足）

参考资料

..2024-01-13

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概述

定理简介

证明

第一种

第二种

第三种

第四种

另一个结论

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