大基数是集合论中的一个概念，指的是具有某些特殊性质的不可数基数。这些性质通常意味着基数的“大小”非常“大”，例如超过所有满足的最小的，其中是阿列夫数。大基数的存在性在ZFC集合论公理系统中既不能被证明也不能被否认。大基数的研究有助于理解某些结论超出ZFC能力的程度。大基数公理是一类断言特定大基数存在的公理，它们通常被认为与ZFC相容，尽管这种相容性不能在ZFC内部被证明。

大基数性质是超限基数可能具有的若干性质的统称。常见的大基数类别包括不可达基数、拉姆齐基数、弱紧基数和可测基数等。在这些类别中，可测基数和拉姆齐基数都比弱紧基数强，而在选择公理的假定下，弱紧基数是不可达基数。不可达基数是最小的大基数，它们在ZFC系统中的存在性无法被证明或否认。

大基数公理是断言特定大基数存在的公理，例如，“存在3个不可达基数”便属于大基数公理。许多集合论者相信这些公理与ZFC相容，且足以推出ZFC的相容性。然而，根据库尔特·卡塞雷斯的第二不完备定理，ZFC（如果相容）无法证明这些公理与ZFC的相容性。大基数公理的相容强度可以组成一个全序，这意味着对于任意两个大基数公理，它们要么等相容，要么一个比另一个强。

虽然有些大基数公理不能比较相容强度，但许多自然的大基数公理可以按相容强度组成全序。对于两个大基数公理和，通常有三种可能的关系：等相容、一个证明另一个相容，或者相反。这些关系反映了大基数公理在逻辑上的层级结构。值得注意的是，等相容强度的顺序不必等于具有该性质的最小基数的大小顺序。例如，巨大基数的存在性在相容意义下远强于超紧基数的存在性，但如果两者都存在，首个巨大基数可能小于首个超紧基数。

大基数的研究可以放在约翰·冯·诺依曼全集的框架下进行。在这个框架中，无大基数的模型可以被视为有大基数的模型的子模型。例如，若有不可达基数，则在首个不可达基数的高度截断全集，便得到一个无不可达基数的全集。一些集合论者认为，大基数公理有助于我们理解所有“应当”考虑的集合，而否定大基数公理则意味着只考虑了部分集合。这些观点在集合论界并不是普遍接受的，不同的哲学派别对大基数公理的认受性有不同的看法。