五次
方程是未知项总次数最高为5的整式方程。一般的五次方程没有统一的公式解存在。
第三，
埃瓦里斯特·伽罗瓦能给出恰好有H=S的方程，而在群论里面很容易证明当n≥5时，S不是一个可解群。
二次、三次、四次方程的根都可以用它的系数的
代数式(即只含有限项的加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达式)来表示，五次及五次以上方程到底是否也行，这个问题吸引了众多的著名数学家，在300多年的时间里，人们的各种尝试都失败了。
到了18世纪下半叶，
法国数学家
约瑟夫·拉格朗日总结分析了别人失败的教训，也意识到这种用代数方法求解五次
方程的公式可能不存在，设想了一种理论上的利用根式求解方程的步骤，但还是碰了壁。
利用一些超越函数，如theta
函数或Dedekind eta function即可找到五次方程的公式解。另外，若我们只需要求得数值解，可以利用数值方法（如
牛顿迭代法）得到相当理想的解答。
拉格朗日的工作启发了年轻的
尼尔斯·亨利克·阿贝尔(
挪威数学家)，中学时期就自学了许多名家的数学著作，进大学后，开始研究五次方程的
代数解问题。1824年，他严格地证明了高于四次的一般
代数方程不可能有一般形式的代数解，这时他才22岁，尚未大学毕业，但没有得到别人理解，将论文寄给
gaussian，也未引起注意，1826年才得以公开发表论文。阿贝尔只是证明了高于四次方程的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被
法国年轻数学家
埃瓦里斯特·伽罗瓦所解决，伽罗瓦创设的理论给出了可解性判别准则，并因此而开辟了数学的新领域——
群论。
1770年：
约瑟夫·拉格朗日详细考察了人们求解2、3、4次
方程的方法，首次意识到5次及其以上方程求根公式可能不存在，虽然他未能证明自己的断言，但是，他提出的根的置换理论揭示了问题的本质，也是这个问题最后解决所出现的曙光。
1824年：
挪威的一位年轻人
尼尔斯·亨利克·阿贝尔证明了：五次
代数方程通用的求根公式是不存在的。当然，结合高斯关于分圆多项式的结论，我们知道，接下来的问题是解决，如何判定具体的代数方程是否可根式解。这个问题阿贝尔并没有回答。
1830年：
法国数学天才
埃瓦里斯特·伽罗瓦彻底解决了5次
方程何时可以根式解的问题。可是他的结果已知没有能够发表。
1846年：伽罗瓦死后14年，他的这一伟大成果发表，其中首次提出了群的概念，并最终利用
群论解决了这个世界难题。
1870年：法国数学家
卡米尔·若尔当（C.Jordan，1838～1922）根据伽罗瓦的思想撰写了《论置换与代数方程》一书，人们才真正领略了伽罗瓦的伟大思想。