子模（英文：submodule）是模论的概念之一，其定义为：设M是一个R-模，N是M的一个子集，如果N对于M的加法和M与R的数乘来说也构成一个R-模，则称N是M的一个子模，M称为N的扩模。

1871年，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind ）在出版的狄利克雷（P. G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了代数数及代数整数的概念，在研究有理整系数代数方程的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的实数系或者复数系。在后期的代数数论工作中，戴德金以模代数为基础，在之后代数整数环的工作中阐述了理想的概念，得到了模的升链条件。在库默尔（E.E.Kummer）、戴德金、克罗内克（L.Kronecker）等人对理想论的工作基础上，拉斯克尔（E.Lasker）在1905年发表的文章《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定义了准素理想的概念，并把它作为模论的重要概念。1921年，艾米·诺特（Emmy Noether）在《环中的理想论》中进一步阐述了理想理论，在非交换环上定义了模的概念，证明了理想的一些分解结果可以转化到子模中以及理想的升链条件与模的极大条件是等价的。在模论的发展过程中，模的直和分解是一个中心问题，并在20世纪得到了快速发展，它与子模有着密切的联系。1932年，克鲁尔（Krull）证明了模直和分解的唯一性。在交换代数当中，准素分解能够把一个交换环的理想或者模唯一地表示为准素理想或者准素子模之交，是算术基本定理的一个推广，可以用来研究代数几何的课题。

子模具有一些重要性质，如每个子模都有一个两个平凡子模；模的任意多个子模的交仍为一个子模；子模的和构成的集合仍然是一个子模。由子模可以定义商模和循环模的概念。此外，还有一些具有特殊性质的子模，如有极大（小）子模、本质子模和多余子模等。模的同态与同构以及直和等概念是模论的中心内容，可得出关于子模的相关定理。在模糊理论中，模还可以推广到模糊集上，得到环上的模的模糊子模的概念及性质。

设是一个乔治·阿贝尔（Abel）加法群，是一个有单位元的环。如果到有一个映射：，并且满足下列4条法则：，有

；

；

；

，

那么称是环上的一个左模或一个左-模。

当上述4条法则的乘法运算一次交换律，即，类似地，可验证成为一个右-模，则称是一个-模。

设是一个-模，是的一个子集，如果对于的加法和与的数乘来说也构成一个-模，则称是的一个子模，称为的扩模。若是的子模，且，则称为的小室真子模，模的所有子模组成一个格。

1871年，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind ）在出版的狄利克雷（P. G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了代数数及代数整数的概念，在研究有理整系数代数方程的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的实数系或者复数系。在后期的代数数论工作中，戴德金以模代数为基础，推广了可除性理论，得到素数和单元的概念，并在之后代数整数环的工作中阐述了理想的概念，得到了模的升链条件。

在库默尔（E.E.Kummer）、戴德金、克罗内克（L.Kronecker）等人对理想论的工作基础上，拉斯克尔（E.Lasker）在1905年发表的文章《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定义了准素理想的概念，并把它作为模论的重要概念。后来，艾米·诺特（Emmy Noether）在前人的影响下，于1921年发表的论文《环中的理想论》中，阐述了理想理论中的大部分概念，在非交换环上定义了模的概念，并证明了理想的一些分解结果可以转化到子模中以及理想的升链条件与模的极大条件是等价的。

在模论的发展过程中，模的直和分解是一个中心问题，并在20世纪得到了快速发展，它与子模有着密切的联系。1932年，克鲁尔（Krull）证明了模直和分解的唯一性。50年代左右，卡普南斯基（Kaplansky）证明了若模是可数生成子模的直和，则的直和项也是可数生成子模的直和；随后沃克（Walker）进一步指出，对于无穷基数，若是生成子模的直和，则的直和项也是生成子模的直和。

在交换代数当中，准素分解能够把一个交换环的理想或者模唯一地表示为准素理想或者准素子模之交，是算术基本定理的一个推广，可以用来研究代数几何的课题。1986年，麦卡斯兰（R.L. McCasland）和摩尔（M.E.Moore）通过素子模的交引入了子模的-根，将理想的根论推广到模上。1992年，詹金斯（J.Jenkins）和史密斯（大前锋Smith）在《关于交换环上模的素数根》(On the prime radical of a module over a commutative ring）中定义并讨论了模的素根；2003年，迪莱克（P.Y.Dilek）在《关于有限生成自由模的素数子模》(On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交换整环中有限生成自由模的素子模。之后，尹华玉等学者在《GV-理想与素子模》中进一步探讨了这些结果。

例1 把任一交换群看成-模。于是，的非空子集是的子模是交换群的子群。

例2 设为有恒等元素的环。令着成环上的左模。于是，的非空子集是的子模是环的左理想。

例3 令，按通常的运算方法，做成整数环上的模。

取只有有限个； 为固定的自然数，那么与都是的子模。

例4 对任一-模，。子集是的子模。

例5 设是域上的线性空间。是的一个取定的线性变换。那么

(1) 的一个非空子集是-模的一个子模是线性空间的一个子空间。

(2)是一个由导出的多项式环上的左模。那么，的一个非空子集是-模的一个子模是线性变换的不变子空间。（）

定义：若是模的真子模，并且不存在严格包含的的真子模，即若是的真子模，且，则一定有成立，则称是的极大子模。

定理：如果模是有限生成的，则的每一个真子模均含在的一个极大子模内。

推论：每个有限生成模有极大子模。

与极大子模是互为对偶的概念。若是模的子模，并且若是的非零子模，且，则一定有，则称为的极小子模。

定义：本质子模亦称大子模，设是-模，是的子模，如果对于中任意子模，那么叫做的本质子模。

本质子模具有传递性，即：若是的本质子模，是的本质子模，则也是的本质子模。

多余子模亦称小子模，是本质子模的对偶概念。设是模的子模，若对的子模，由可得出，则称为的多余子模。记为。

子模具有以下一些性质：

1.每个子模有两个平凡子模，一个是零模和另一个是自己；

2.模的任意多个子模的交仍为一个子模；

3.模中有限多个子模之和，仍是的一个子模。

设为-模的一个子模。作为的一个子群，是的正规子群，作商群，仍是一个交换群。在自然的方式下规定在上的作用，设为的任一代表，规定，这个定义与的代表的取法无关。设为的任一代表，则。因而，易知此作用满足模的定义中的4个条件，于是成为一个-模，叫做模对子模的商模。

定义：设是-模的一个有限子集，则称为有限生成子模，叫做的一组生成元素，简记作。当时，就说是有限生成模。特别地，时，则称为的循环子模。而当时，称是循环模。

性质：模是循环模的充分必要条件是，其中为环的一个左理想。

设和为两个-模，若存在到的一个映射满足：

(1)是一个群同态；

(2)。

则叫做到的一个模同态或-同态。若是到的一个一一对应，则叫做一个模同构。

设为同一个环上的模，作加法群的直和，然后规定对的作用：，对于，则成为一个-模。叫做-模的 直和，简记作。

设为-模到-模的一个模同态，则和分别是和的子模，而且诱导出模同构，使得。

设和为-模，为满同态，令为的子模，且那么，映射是一个-同构。

设是-模，与都是的子模，那么商模与同构。

设为-模。与都是的子模，且那么商模与同构。

定理1：设和为两个-模，而且是个-模的直和，如果存在的子模到的模同态，则可以唯一地开拓成模同态，使得满足。

定理2：设为一个-模且包含个子模，满足：

(1)；

(2)；

则存在模同构使得。

定理3：

(1)若-模是子模的直和，而且每个又是子模的直和，则是子模的直和；

(2)若-模是子模的直和，令，则是的直和；

(3)若-模是子模的直和，令，则商模和成模同构。

模是代数学中一个重要代数结构。1975年，内戈伊塔（C.V.Negoita）与拉莱斯库（D.A.Ralescu）在《模糊集在系统分析中的应用》(Application of fuzzy sets to system analysis）中第一次给出了环上的一个模的模糊子模的概念，后来，拉结神·库马尔（Rajesh Kumar）等人从经典模论给出的性质，将其模糊化，并给出了模糊子模的一些重要性质。

设是环，是一个左-模，。若对任意的，任意的，恒有：

；

；

则称是的一个模糊子模。上的全体模糊子模所成集合记为。

1.设是环，是一个左-模，，则以下命题等价：

(1)；

(2)，有；

(3)；

(4)。

2.设是环，是左-模，，则是的模糊子模，且，有；

3.设是环，是左-模，，则；

4.设是有单位元的交换环，是自己上的模，则-模的模糊子模是环上的模糊理想；

5 设是左-模，是的模糊子模。若是交换环，则，是的模糊子模，其中。