李代数（Lie algebra）是一种在数学中广泛应用的代数结构。

李代数的发现源于19世纪末叶。19世纪挪威数学家索菲斯·李（Marius Sophus Lie）在研究线性偏微分方程组解的积分曲线时，发现了无穷小变换群（这就是现代的局部李群）以及无穷小变换群的李代数。后其学生恩斯特·恩格尔（Engel，F.）等人致力于李代数的研究，到20世纪初，嘉当（Cartan，É.（-J.））解决了复半单李代数的分类。随后，嘉当陆续解决了实单李代数的分类，并成功地确定了单李代数的不可简化的线性表示以及对称黎曼空间的分类，表示的分类等。同时，赫尔曼·外尔（Weyl，（C.H.）H.）详尽地讨论了紧李群，给出了紧李群分类和紧李群的表示的分类。20世纪30年代后，李群及其李代数不仅本身理论（包括结构理论和表示理论）有着迅速的发展，而且不断地扩大应用范围，成功地渗透到理论物理学中。

与李代数相关的概念是李群，李群是拓扑结构，李代数是相应的代数结构。表示和模为李代数的两个重要工具。常见的李代数类型有线性李代数、幂零李代数及可解李代数等。李代数理论与方法在物理学、工程学等领域具有广泛的应用价值，如李代数在物理学中用于描述基本粒子的对称性和相互作用等。

李代数是一类重要的非结合代数。记为域上的向量空间，若中除了加法和标量积，还有第三种代数运算：，记为，，，它适合条件：

则称为和的换位运算，亦称“方括号运算”。这时称为域上的李代数，简称李代数。当的维数有限时，称为有限维李代数；当的维数无限时，称为无限维李代数。

李代数的发现源于19世纪末叶。19世纪挪威数学家索菲斯·李（Marius Sophus Lie）在研究线性偏微分方程组解的积分曲线时，发现了无穷小变换群（这就是现代的局部李群）以及无穷小变换群的李代数。

此后，他的学生恩斯特·恩格尔(Engel，F.)等人致力于李代数的研究，到20世纪初，埃里·嘉当（Cartan，É.（-J.））解决了复半单李代数的分类。随后，嘉当陆续解决了实半单李代数的分类，并成功地确定了单李代数的不可简化的线性表示以及对称黎曼空间的分类，表示的分类等。同时，赫尔曼·外尔（Weyl，（C.H.）H.）详尽地讨论了紧李群，给出了紧李群分类和紧李群的表示的分类。

20世纪30年代后，李群及其李代数不仅本身理论（包括结构理论和表示理论）有着迅速的发展，而且不断地扩大应用范围，成功地渗透到理论物理学中。在阿尔伯特·爱因斯坦（Einstein，A.）的相对论中，运动群就是洛伦茨（Lorentz，G.G.）群，这是一个四维实单李群。李群理论的深入发展，派生出代数群理论，它们对数学的许多分支，都有深刻的影响，而从复及实李代数，自然地推广到一般城上的李代数理论。

另一方面，无限维李代数也从20世纪60年代开始发展起来，最重要的是作为复半单李代数的推广而出现的卡茨-穆迪李代数，以及维拉索罗代数，它们从一开始就和理论物理有着密切联系，且与组合数学、代数数论、孤立子理论有着深刻的联系。

若为域上的结合代数，满足结合律的乘法，记为，，则运算，为换位运算，在此运算下，为李代数。特别地，若为由所有矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义，便构成一个维李代数。

李群（Lie group）是具有拓扑结构和导数结构的群。若为实（或复）拓扑流形，且关于此拓扑为拓扑群，则称为实（或复)李群，这时流形之实（或复）维数称为此实（或复）李群的维数。李群具有李代数的结构，每个李代数都存在唯一一个单连通的李群。

设是李代数，的一个子空间称为的一个子代数，如果；换句话说，对任意总有。的一个子空间称为的一个理想，如果；换句话说，对任意，总有。

的理想自然是的子代数。如和是的理想，则+和也是的理想。

设是李代数的理想，可定义商空间/，它由对的所有陪集（即同余类）组成。如，记=+为所属的的同余类，即商空间/中的一个元素，定义：

=

可以证明，这个定义与同余类中代表元素的选取无关。这样，商空间/对于如此定义的换位运算组成一个李代数，称为对的商代数。

李代数的线性表示是研究李代数表示的重要工具。设为域上的李代数，为域上的向量空间。上所有线性变换构成的集合，它也是上线性空间。若在中引进换位运算=-，则为域上李代数，到的同态称为李代数的线性表示，简称表示。线性空间称为表示空间。当为有限维线性空间时，称为有限维表；为无限维线性空间时，称为无限维表示。当为Hilbert空间，由酉算子构成，则称为酉表示。线性表示有时也记为。设和都是李代数的线性表示，若存在到上的线性同构，使得=，，则称和是等价的。

设为域上有限维李代数。若域上所有阶方阵构成之李代数记为，则到内之同态称为李代数的矩阵表示。若为的线性表示，在中取定基，则中每个元都对应一个矩阵，从而诱导了矩阵表示。反之，给定的矩阵表示，设，为阶方。若任取维向量空间，在中取定一组基，取出对应方阵之线性变换，，则得到的线性表示。所以矩阵表示实际上是线性表示的矩阵表达形式。

设为李代数的线性表示。若中子空间，满足（），则称为不变子空间。这时限制在线性子空间上仍为线性变换，改记为，。仍为李代数的线性表示，称为李代数的表示之子表示。设为李代数的表示之不变子空间，考虑商向量空间，于是可定义=，，。此定义和等价类中代表元素之选取无关，且，为商空间上线性变换，而且为李代数的表，称为表示的商表示。

李代数的不可约、可约表示是李代数一类重要而基本的表示，设为李代数的表示，若表示空间中真不变子空间等于零，则称为李代数的不可约表示；否则，称为可约表示。不可约表示所对应的模是不可约的。李代数的完全可约表示是李代数一类重要的表示，可归结为不可约表示。设为李代数的表示，若对中任一不变子空间，必存在另一不变子空间，使得=+为空间直和，则表示称为完全可约的。由定义，不可约表示完全可约。若为的有限维表示且完全可约，则必可分解为不可约子模的直和=++······+（分解的方法不一定惟一)。若李代数的任一有限维表示完全可约，则称为约化李代数，约化李代数为中心及单理想之直和。因此，紧李代数必为约化李代数。

李代数模是李代数表示的一种等价概念。设为域上的李代数，为域上的向量空间。若运算满足：

=+ （）；

=+（）；

=- （）；

则称为模。给出一个模，=，，定义了一个表示。反之，若是的表示，则也可以看做一个模，且的每个子表示都对应模的一个子模。

假设及是李代数的两个表示，与都是作用在同一上向量空间的线性变换；假设，若是第一个表示中的任一个表示变换，是第二个表示中的任一个表示变换，则。

定义从到的线性变换全体所成代数中对的一个新映象：

因为这是线性映像与的和，所以是线性的。

设，，则在新映象中有

。

因此+++=+

且因为+，所以这新映象是一表示。

其次假设与是李代数的任意两个模。设是与的张积量（或积）。

若是的线性变换，则映象，是中的一线性变换，有下列运算规则：

，

，

，

。

以上可得，映象（是的恒等映象）是的线性变换全体所成代数到内的同态。相似地，是到内的同态。设是由所决定的表示。与相联系的线性变换是。把李代数同态与到中的结合代数同态（因此也是李代数同态）连接起来所得结果是在中的一个表示。用这种方法所得到的的这两个表示是

及。

若，则。

因此前一段中所提出的交换性质成立。得出+是在中的一个表示。用此方法，就成为由所定义的具有模运算的模。由这样的方法所得到的模称为模与的张量积，记作。

李模及由上所有线性函数（对基域而言）所成的对偶空间，把线性函数在向量处所取的值记作。于是，这个乘积是双线性的：

，

，

。

而且这个乘积是非退化的。中的任一线性变换决定中一个伴随变换，使得

映象是到内的结合代数反同态。映象是线性的，且

因此 是到 内的同态。如果把由所决定的表示与 连接起来，结果就得到的一个新表示 。对相应的模，有

因此联系着这两个模的特征性质是

用这个方法所定义的模称为的反轭模，它的相应的表示记作。

线性李代数是由线性变换构成的李代数。设是域上的维向量空间，为上所有线性变换构成的集合，它在运算=-下构成维李代数，称为一般线性李代数，它的任一子代数称为线性李代数。在中取定基后，将与上所有阶方阵的集合等同起来，并记为，它的子代数称为矩阵代数。

幂零李代数是类似于一般代数中的幂零代数。若为域上的李代数，记：

=，=（=2,3，···），

则，···都是的理想，且有···。若存在自然数，使得=，则称为幂零李代数。例如，所有阶对角元素都是零的上三角方阵的全体构成幂零李代数。若李代数的换位运算是平凡的，即=0，则称为交换李代数。

若为域上的李代数，记：

=，=（=2,3，···），

则，···为之理想，且有···，又有（=1，2，···），若存在自然数，使得=，则称为可解李代数。幂零李代数为可解李代数，但反之不一定。例如，所有域上阶上三角方阵全体，在换位运算=-下为可解李代数，但不是幂零李代数。

设为域上的李代数，若的非零理想只有本身，且，则称为单李代数。单李代数必为半单李代数，反之，在实数及复数的情形，半单李代数必为单理想子代数的直和，因此，研究实及复半单李代数的问题化为研究实及复单李代数。

复单李代数是复数域上结构最简单的李代数，复单李代数在同构下的标准形为四大类和五个特殊类。四大类可以用矩阵李代数实现，分别是：

1.（）。

2.（）。

3.（），其中。

4.（）。

另外五个特殊类分别有维数14，52，78，133，248，它们的实现比较复杂。

若实李代数上有点积（即正定对称双线性函数）适合不变性，即（），则称为紧李代数，紧李代数必为中心及维数大于1的紧单李代数的理想直和，且复单李代数中在同构意义下，有且只有一个紧李代数，因此紧单李代数在同构下的标准形也为四大类及五个特殊类，四大类可以用矩阵李代数实现，分别是：

1.（）。

2.（）。

3.（）

4.（）。

五个特殊类的实现比较复杂。

设是作用在有限维向量空间上的可解线性李代数，则中有非向量存在，使对一切，而是定义在上取复数值的线性函数，即是中一切线性变换的公共特征向量。

线性变换的形式：设是个有限维线性空间，，是的子代数，而。如中每个元素都是幂零线性变换，则有 ，使，对一切。

抽象代数的形式：李代数幂零，当且仅当对任意，都幂零。

环论是抽象代数学的主要分支之一。它是具有两个运算的代数系，在非空集合中定义加法“”和乘法“”运算，使得中任意元，，适合条件：

1.对加法为交换群，称为的加法群，记为；

2.对乘法适合结合律，即是半群，称为的乘法半群；

3.乘法对加法的左、右分配律成立，即

（左分配律），

（右分配律）；

则称为结合环，简称环。

设是一个非空集合，如果在其上定义了两种运算：，，并且满足：

1.关于加法运算构成交换群；

2.关于换位运算满足反交换性：，和恒等式，；

3.分配律成立：，；

则称为环。

差分几何是研究曲面和曲线的数学分支，李代数在这一领域中用于描述各种几何结构的对称性和变换。特别是在处理流形上的光滑向量场时，李代数提供了一种理解这些向量场如何相互作用和变换的框架。例如，李代数用于描述和分析流形上的李群作用，这在理解流形的局部和全局性质方面至关重要。在复杂的几何结构，如多维流形和曲率空间中，李代数帮助数学家构建和解析这些空间的内在对称性。

李代数在物理学中扮演着核心角色，尤其是在理解基本粒子的对称性和动力学以及分子光谱中。在量子力学中，李代数帮助描述了粒子的自旋、角动量以及各种守恒定律。例如，李代数与电子的自旋对称性有关，而代数则与经典的角动量守恒相关。在粒子物理学的标准模型中，李代数用于描述基本粒子如夸克和轻子之间的相互作用。这些相互作用通常通过规范对称性来表达，而规范对称性本身就是基于特定的李代数。如代数在描述强相互作用（控制夸克之间的结合）时起着关键作用。其次，李代数方法在分子光谱中的应用也十分广泛，如李代数方法可用于研究多原子分子的光谱。

在自动控制理论中，李代数用于分析和设计反馈控制系统。通过研究系统的状态空间和控制输入之间的关系，李代数帮助工程师设计出更有效的控制策略。例如，在航天器的姿态控制和机器人臂的运动规划中，李代数的概念被用来设计控制算法，确保系统能够以期望的方式响应外部输入；在机器人动力学中，李代数是旋量表示的李群的代数结构，主要应用于主被动关节机器人的动力学建模过程，有助于抓住动力学的本质，进一步形成高效的递推动力学模型。