舒尔不等式(舒尔提出的数学公式)

舒尔不等式

舒尔提出的数学公式

a,b,c≥0,t∈R⇒a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)≥0。

介绍

当且仅当，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号成立。

特别地，当为非负偶数时，此不等式对任意实数成立。

Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。

证明

对的证明：

由对称性，不妨设，

，证毕。

对的证明：

由对称性，不妨设，则。

证毕。

推论

1、。

2、三角形中，为角所对的三边。

3、三角形中，。

推广

假设是正的实数。如果和是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：

当时，即化为舒尔不等式。

舒尔不等式的如下两个变形形式在解题中非常有用

变形1：

变形2：

事实上，把①展开即得变形1，因为代入变形1，得

所以

下面引用三个例题来介绍舒尔不等式的用法

例题1：设，且，求证：.

证明：由舒尔不等式的变形2可得:

有题设条件可得

另一方面，

从而命题得证。

例题2

证明：在△ABC中有

证明：令 ,则由舒尔不等式可得

所以

例题3：设，且，求证：

证明：因为, 所以上式等价于

等价于

即

这就是舒尔不等式的变形1，故原命题得证！

参考资料

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