张量场是物理学中场的一种，它在数学、物理和工程学中广泛应用。如果一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表，那么这个场就是一个张量场。张量场是向量场和纯量场的一般化，其中最常见的例子是广义相对论中的应力能张量场（Stress-能量 tensor field）。

张量场在微分几何、流形理论、代数几何、广义相对论以及材料应力和应变分析中有着重要的应用。它是向量场的一般化，向量场可以视为从点到点变化的向量。在物理科学和工程学中，张量场的应用无处不在，例如曲率张量在微分几何中的应用，以及应力能张量在物理和工程学中的重要性。这些都与阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论理论相关。

向量场可以被想象为不同长度和方向的态射附着在一个区域的每一点。例如，弯曲空间的向量场可以通过地球表面的水平风速气象图来示例。张量场则包含更丰富的几何信息，如度量张量场可以视为点到点变化的椭球。张量场的概念应独立于任何特定的坐标系统或映射方式。

张量场的现代数学表达将其分为两个概念。首先是向量丛的概念，即依赖于参数的向量空间，其中参数是流形。给定流形M上的向量丛V，相应的场的概念称为丛的截面。张量积的概念与基的选择无关，因此在流形M上的两个向量丛的乘积是常规做法。从切丛开始，整个无分量的张量处理机制可以以坐标无关的方式复制过来。张量场可以定义为某个张量丛的截面。

张量场的记号与张量空间的记号非常相似，有时会导致混淆。例如，切丛TM=T（M）有时被写作`T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM`，以强调切丛是流形M的（1,0）型张量场的空间。手写体字母有时用于表示光滑的张量场，如`{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)`表示M上的无限可导数张量场的（m,n）型张量丛的截面集。

张量场在理论物理和其他领域中的应用包括用张量场表达的微分方程，这些方程本质上是几何的，并且与微积分紧密相关。这需要协变偏导数的概念来表述张量场沿着一个向量场的变化，这是张量微积分的一部分，也导致了联络这个几何概念的产生。

张量场的推广包括加入一个额外的线丛L。若W是V和L的张量积丛，则W是一个同样维度的向量空间丛。这允许定义张量密度，即一种扭转类型的张量场。张量密度是当L是流形的密度丛时的特殊情况。密度丛L的一个特点是，它可以定义为Ls对于一个实数s，这意味着我们可以考虑比重s的张量密度场。

当流形M是一个三维空间，且所有场都在M的向量平移下不变时，张量场和位于原点的一个张量同义。在张量密度的情况下，这确实有区别，因为密度丛不能在一点上严格定义，因此张量密度需要以一种迂回的方式定义。

张量概念的高级解释包括将链式法则在多变量情况下解释为坐标变换时的应用，以及作为张量场中张量本身一致性的要求。抽象地讲，链式法则可以被视为一个1-闭上链，这为定义切丛的内在一致性提供了基础。其他张量的向量丛有相应的闭上链，可以从把张量构造的泛函属性应用到链式法则本身得到。这证明了张量的几何本质，以及整个理论的正确性。