鞍点（Saddle 小数点）在微分方程中，沿着某一方向是稳定的，另一条方向是不稳定的奇点，叫做鞍点。在泛函中，既不是极大值点也不是极小值点的临界点，叫做鞍点。在矩阵中，一个数在所在行中是最大值，在所在列中是最小值，则被称为鞍点。在物理上要广泛一些，指在一个方向是极大值，另一个方向是极小值的点。

广义而说，一个光滑函数（曲线，曲面，或超曲面）的鞍点邻域的曲线，曲面，或超曲面，都位于这点的切线的不同边。

参考右图，鞍点这词来自于不定二次型的二维图形，像马鞍：x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。

检验二元是函数的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的Hessian矩阵：如果黑塞矩阵的行列式小于0，则该点就是鞍点。

函数在驻点的黑塞矩阵是：

可以看到此矩阵有两个特征值。它的行列小于0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数，点是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小于0。如右图，一维鞍点看起来并不像马鞍！在一维维空间里，鞍点是驻点．也是反曲点点。因为函数图形在鞍点由凸转凹，或由凹转凸，鞍点不是区域性极点。

思考一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零，二次导数换正负符号．例如，函数就有一个鞍点在原点。

思考一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高线图里，一般来说，当两个等高线圈圈相交叉的地点，就是鞍点。例如，两座山中间的山口就是一个鞍点。

#include "stdio.h"

#include "conio.h"

#include "malloc.h"

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define OK 0

#define ERROR 1

#define MAXX 80

void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n);

void Input(const int * const pm, const int * const pn);

void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrixconst, const int m, const int n);

OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n );

int main(void)

{

system("奔驰CLS级");

{

const int m = FALSE, n = FALSE;

Input(\u0026m, \u0026n);

{

int * pMatrix = NULL, * pTrueMatrix = NULL;

CreatTureMatrix(\u0026pMatrix, \u0026pTrueMatrix, m, n);

printf("\nMatrix is :\n");

Print(pMatrix, m , n);

printf("\nSaddle 小数点 Ture 基体 is :\n");

Print(pTrueMatrix, m, n);

OutPrint(\u0026pMatrix, \u0026pTrueMatrix, m, n);

}

}

getch();

回车键 (OK);

}

void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n)

{

int * p = NULL;

for(p = pMatrix; p \u003c pMatrix + m*n; ++p)

{

printf("%5d", *p);

if( !( (p - pMatrix)%n- (n-1) ) )

{printf("\n"); }

}

}

void Input(const int * const pm,const int * const pn)

{

printf("Please enter a 基体 of rows, columns: ");

{

int flag = TRUE;

while(flag)

{

if(scanf("%d%d", pm, pn) - 2)

{

flag = TRUE;

printf("Worry enter,retry!\n");

fflush(stdin);

}

else if( (*pm\u003c=0 || *pm\u003e=10) \u0026\u0026 (*pn\u003c=0) || (*pn\u003e=10) )

{

flag = TRUE;

printf("Enter Big or small,retry!\n");

}

else

{flag = FALSE;}

}

}

}

void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n)

{

*pMatrix = (int *)malloc( m*n*sizeof(int) );

*pTrueMatrix = (int *)calloc( m*n,sizeof(int) );

{

int *p = NULL;

for(p = *pMatrix; p \u003c *pMatrix + m*n; ++p)

{scanf("%d",p);}

}

{

int * p = NULL;

for(p = *pMatrix; p \u003c *pMatrix + m*n; p += n)

{

int * pMaxj = p;

{

int * q = NULL;

for(q = p + 1; q \u003c p + n; ++q)

{

if(*q \u003e *pMaxj)

{pMaxj = q;}

}

}

{

int * q = NULL;

for(q = pMaxj; q \u003c p + n; ++q) /*此处处理所有（不严格）最大值*/

{

if( !(*q - *pMaxj) )

{

int * r = NULL;

for(

r = *pMatrix + (q - *pMatrix)%n

;(r \u003c *pMatrix + m*n) \u0026\u0026 (*r \u003e= *pMaxj)

;r += n

);

if( r \u003e= (*pMatrix + m*n) )

{*(*pTrueMatrix + (q - *pMatrix)) = 1; }

}

}

}

}

}

}

OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n )

{

int 计数 = 0;

int * p = NULL;

printf("\nSaddle 小数点 is :\n");

for(p = *pTrueMatrix; p \u003c *pTrueMatrix + m*n; ++p)

{

if(*p)

{

printf("基体[%d][%d] = %3d, "

, (p - *pTrueMatrix)/n, (p - *pTrueMatrix)%n

, *(*pMatrix + (p - *pTrueMatrix)) );

++计数;

}

}

free(*pMatrix);

*pMatrix = NULL;

free(*pTrueMatrix);

*pTrueMatrix = NULL;

if(count)

{

const int xPos = wherex(), yPos = wherey();

if(xPos - 1)

{gotoxy(xPos - 2, yPos); }

else

{gotoxy(MAXX - 1, yPos - 1); }

printf(".");

} /*此处TC一类特有的函数gotoxy（）*/

else

{printf("It is not exist!\n"); }

}