椭圆函数，是双周期的亚纯函数。最初是从求椭圆
弧长时引导出来的，是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。N.H.
鲁道夫·阿贝尔、C.G.J.
卡尔·雅可比和K.
卡尔·魏尔施特拉斯等人对此都有卓越的贡献。
正文
一个函数ƒ(z)，如果存在着
常数T≠0（可以是
复数），使对一切z均有
ƒ(z+T)=ƒ(z) (1)
则称ƒ(z)为周期函数,T为其周期。可使周期T满足式(1)且有最小的模。
如果一函数ƒ(z)有两个周期2ω，2ω┡，且（以下恒设其\u003e0），则称ƒ(z)为双周期函数。一般说来，ƒ(z)在z=z0附近的性态与在附近的性态相同,m,n为任何整数;z0+称作z0的(周期)合同点。因此，研究ƒ(z)例如可只限于z在以0,2ω1=2ω,2ω2=2(ω+ω┡),2ω3=2ω┡为顶点的
平行四边形p中变动。这个平行
四边形称为ƒ(z)的基本周期四边形或基本胞腔（见图）。
只有极点的双周期
解析函数ƒ(z)就是椭圆函数。不妨假设在p的周界上没有ƒ(z)的
零点和极点，因为否则只要对复坐标z作适当平移变换便可达到目的。
由刘维尔定理知，双周期解析函数ƒ(z)如果没有
奇点则必为
常数。又由
留数定理易证，ƒ(z)在p 中也不可能只有一个单极点。且可证明，ƒ(z)在p 中取任何值的点的个数包括极点的个数（重数也计入个数内）均相同。椭圆函数在p中极点的个数称作它的阶数。因此,（非常数的）椭圆函数至少是二阶的。
ξ函数与P函数 定义
(2)
式中∑┡表示对一切整数m,n求和，但m=n=0除外。ξ(z)是一亚纯函数，以为单极点(m,n=0，±1，±2,…)，且主部为。它不是周期函数，但满足下列关系：
(3)
式中ηj=ξ(ωj)为三个
常数，它们之间有如下关系：
由式(3)可见
已是一个二阶椭圆函数，以为二阶极点，并以为其主部。
任何椭圆函数均可通过 P(z)及其各阶导函数表出。
式中。P函数还有所谓加法公式
σ函数 为了得到椭圆函数的一种方便的表示法，引进σ函数。
,
式中∏┡表示对一切整数m,n求积，但m=n=0除外。σ(z)是以为单
零点的整函数，它不是双周期的，但满足下列关系：
易证
任何n阶椭圆函数ƒ(z)，如分别以α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn为其零点和极点（计入重数），则总可使得，这时它可表为
,
则可证
式中，且根式已适当选定一支。
θ函数 在实际应用中，作变换，可使椭圆函数ƒ(z)变成另一椭圆函数φ(υ)，后者的一个周期为1，另一周期为。引进θ函数
式中q=。θ(υ)不是椭圆函数，但有
由θ(υ)还可引进函数如下：
这些函数都不是椭圆函数，但有
任何以2ω,2ω┡为周期的椭圆函数ƒ(z)，可通过θ函数表出：
如前式中αr,βr(r＝1,…,n)为ƒ(z)的
零点与极点。
P(z)与k(υ)间有如下确定的关系：
式中。
k 函数间也有加法公式等。
雅可比椭圆函数令(
根号取定一值)，定义雅可比椭圆函数如下：
它们都是u的二阶椭圆函数。snu以 4K与2iK┡为周期,cnu以4K与2K+2iK┡为周期,dnu以2K与4iK┡为周期，式中。它们和
三角函数有某些相似之处。例如，有
,
等等。由这些公式，可得
，
这里根式应选取u＝0时取值 ＋1的一支，由此可以得出
(4)
右边这类含有四次根式的积分正是求椭圆的
弧长时会遇到的那种类型，它们统称为
椭圆积分。由式(4)可见，u作为z的函数时，其
反函数正好是椭圆函数snu。椭圆函数名称来源于此。
自守函数 椭圆函数ƒ(z)具有这样一个特点：当z经过平移变换
后函数值不变。变换T，T┡生成一群G,ƒ(z)的变量z经G中任何变换后ƒ(z)保持不变。
一般说来，设G =｛T｝为分式线性变换构成的群(但不是单位群，即不是由恒等变换一个元构成的群)，又设ƒ(z)为某区域D中的亚纯函数，群G中的任何元T把D变成自身。且使
,
则称ƒ(z)为区域D中关于群G的自守函数。椭圆函数就是全平面中关于群整数}的自守函数。
自守函数理论是由H.
亨利·庞加莱与F.
菲利克斯·克莱因等人在19世纪80年代建立起来的，它对复变函数论的许多分支以及
微分方程都有重要影响。