黎曼流形是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。

黎曼流形是一度量张量的微分流形。设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：

1.g是对称的，即：.

2.g是正定的，即：，且等号仅在时成立。

简单地说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的微分流形。

在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有度量张量的微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。

具体的定义如下：

伯恩哈德·黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称正定协变二阶张量场，亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后，我们就可以像数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。

欧氏空间有自然的度量.它的矩阵就是单位矩阵。

欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。

伯恩哈德·黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼点积。这个联络称为黎曼联络。

阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。度量是内蕴性质。具有度量的空间就称为黎曼空间。

流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家约瑟夫·拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家赫尔曼·格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家伯恩哈德·黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个()维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家亨利·庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。

对流形的深入研究集中在流形上的导数结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。

Levi-Civita联络

流形上的伯恩哈德·黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变导数和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。

曲率

黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。

德国数学家。生于德国汉诺威(Hannover)的布雷塞伦茨(Breselenz)，是牧师之子，在哥廷根市(Gottingen)大学和梅林大学学习，1851年在哥廷根大学获得博士学位，1854年任该大学兼职讲师，1857年任副教授，1859年作为P.G.L.Dirichlet的继承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在数学各个领域作出了划时代的贡献。最重要的贡献有四个方面：几何学、复变函数论、微分方程和数学分析的基本理论。他是黎曼几何的创始人，复变函数理论的创始人之一。在数学分析方面，他给积分下的标准定义，一直沿用至今，以至于这种意义下的古典积分叫作“黎曼积分”。他还对傅立叶级数理论做了许多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。伯恩哈德·黎曼对偏微分方程和常微分方程理论，特别是常微分方程的奇点理论，也都创造了一些重要的方法。黎曼还十分关注自然科学，特别是物理学。他的复变函数和微分方程研究都直接与流体力学和电磁理论相联系，著名的数学家菲利克斯·克莱因曾在《19世纪数学发展讲义》一书中指出：“黎曼用他的数学才能为自然科学本身开辟新的途径。然后又把自然科学作为形成数学中的新概念的动力”。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变导数和协变导数，从而建立起流形上的微分学。在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

伯恩哈德·黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

大约翰·卡尔·弗里德里希·高斯最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。这是一个非常了不起的发现。