标准差（Standard Deviation）是一种描述数据的离散程度的统计量。标准差表示数据集合中每个数值与数据集平均值的偏离程度，越大表示该数据集合整体的离散程度越大，越小表示数据集合整体的离散程度越小，19世纪末，由英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）首先提出。

标准差的计算公式为，先计算每个数值与平均数的差，然后求其平方值，再把所有平方值相加后除以总数，最后再对结果进行平方根运算。如果是对整个总体进行计算，则标准差记为σ，如果是对样本进行计算，则标准差记为s。

在国家计量技术规范中， 标准差的正式名称是标准偏差， 简称标准差，标准差的名称有10余种， 如总体标准差、 母体标准差、 均方根误差、 均方根偏差、 均方误差、 均方差、 单次测量标准差和理论标准差等。

标准差的值越小，表示数据集合整体的分布越紧密，平均数代表数据的代表值更加准确；标准差的值越大，表示数据集合整体的分布越分散，平均数代表数据的代表值的可信度就降低了。标准差是统计学中非常重要的一个概念，可以帮助人们更好地理解和分析数据分布规律，进而进行更加科学和准确的推断和决策。

标准差是由英国统计学家卡尔·皮尔逊在19世纪末首先提出来的，当时，人们通过求解方差已经可以很好地描述数据分布的离散程度，但是方差最后获得的值是平方单位的，不利于人们对其进行直观的理解和比较。而标准差的出现，正是为了解决这个问题。它是方差的平方根，具有良好的可解释性和可比性，更容易被人们直观地理解和应用。因此，到了20世纪初，标准差很快被广泛地应用于数据分析、统计学、概率论以及各种相关领域。

标准差的出现和统计学的发展密不可分。在现代经济和科学技术领域中，数据量已经变得非常庞大，要想对这些数据进行有意义的分析和应用，需要借助统计学的工具和方法。标准差作为一个重要的统计量，可以帮助人们更好地描述数据分布的离散程度和数据点之间的差异性，对数据分析和决策具有重要的参考作用。

标准差是方差的正平方根，即有：

其中，s表示标准差，Var表示方差。方差和标准差存在一种简单的互相转化的关系，这种关系表示了数据分散程度的两种不同表现方式，我们在实际应用中更常用标准差而不是方差，因为标准差具有与原始数据相同的物理单位，它更容易解释和理解。

总体标准差是指总体数据分布中所有数据点与其平均值（或总体参数）之间的差距的平均值的平方根。与样本标准差不同，总体标准差是基于整个总体的所有数据进行计算的，包括已知和未知的数据。如果我们有总体的全部数据，我们可以用全样本计算总体标准差，而如果我们只有一个样本，就需要通过样本标准差来估计总体标准差。

总体标准差是衡量总体数据分布的离散度的一种重要指标，在统计分析、财务分析、商业决策、品质控制以及市场调查等领域广泛应用。例如，在市场调研中，研究人员可以使用总体标准差在整个市场中衡量某种产品或服务的消费者需求的波动程度，以制定更好的市场营销策略。在财务分析中，总体标准差可用于评估一家公司股票的波动程度和风险率，帮助投资者制定更好的投资策略。

总体标准差的公式如下：

总体标准差=

其中，是所有数据与总体参数（平均值）的差距的平方之和，N 是总体数据的数目。

总体标准差通常与样本标准差一起使用。如果我们有总体的全部数据，我们可以用总体标准差来描述数据的分布情况。如果我们只有一个样本数据，我们需要用样本标准差来估计总体标准差。在数据分析和统计学中，总体标准差的准确度和估计误差对于数据分析和结论推断具有很重要的影响。

样本标准差和总体标准差的区别在于它们基于不同的样本或总体。样本标准差是基于样本数据计算的标准差，而总体标准差是基于总体数据计算的标准差。

在统计中，由于总体标准差很难计算，通常使用样本标准差来估计总体标准差。这个过程是基于大数定律的原理，即随着样本量的增加，样本标准差越来越接近总体标准差。

一般来说，样本标准差可以代替总体标准差进行推断和分析，但需要满足一定的前提条件，如总体必须符合正态分布、样本容量要足够大等。在使用样本标准差代替总体标准差时，需要注意样本量的选择和样本的代表性，以确保估计的准确性。

单次测量标准差是一种用于衡量单次测量误差的统计量。它评估单次测量的变异性，而不考虑多次测量的变异性。单次测量标准差越小，表示单次测量的精度越高。

在实际测量中，很难避免存在误差。单次测量标准差可以用来衡量一个测量值与其平均值的差异，以评估测量结果的精度和准确性。较小的单次测量标准差表明单次测量误差较小，结果较准确。

单次测量标准差的计算公式如下：

其中，s是单次测量标准差，是第i次的测量值，x是测量值的平均值，n是测量次数。

均方根误差是统计学中用于衡量预测值与实际值之间误差的一个指标，也是模型拟合度和预测准确性的一种度量。它是所有误差的平方平均值（MSE）的平方根。

均方根误差经常被用来比较不同模型预测结果的准确程度，以选择最好的预测模型。均方根误差越小，表明预测模型的拟合度越好，预测结果越准确。

均方根误差的计算公式如下：

其中，是实际值，是预测值，是数据总数。

均方差是指样本数据集中每个数据点与真实值的误差平方的平均数。均方差通常用于评估预测模型的精度和准确性，也可在回归问题中用作损失函数。

均方差的公式如下：

其中，n是样本数量，是样本中第 i个数据点的真实值，是使用模型预测的第i个数据点的值。

MSE 值越小，表示模型的预测结果越接近真实值，表示模型的精度和准确性越高。相反，MSE 值越大，则意味着模型的预测结果与真实值之间的误差越大。

是某一统计量（如样本均值、样本均值之差、样本比例、相关系数等）抽样分布的标准。标准误差用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的重要尺度。在实际应用中，标准误差往往是根据样本数据计算来的，根据样本数据计算的标准误差实际上是估计标准误差（在用统计软件计算时给出的都是估计标准误差）。常见的标准误差有样本均值的标准误差、样本比例的标准误差、样本相关系数的标准误差、线性回归方程斜率及截距的标准误差、回归估计的标准误差等，与标准差的关系为：。

标准差的非负性指标准差的值始终为非负数，即标准差不可能为负数。因为标准差是一个衡量数据分散程度的统计量，它是平均值和每个数据点之间的差的平方的平均值的平方根。平方根的结果始终为非负数，所以标准差也始终为非负数。

标准差的可加性是指在满足一定条件下，两个或多个相互独立随机变量的标准差可以相加。如果有多个随机变量，例如X、Y、Z等，它们各自具有自己的标准差 ，想要计算它们的总体标准差s，则可以使用以下公式：

也就是将每个随机变量的标准差平方相加，然后再将其和开平方即可得到总体标准差。这个公式可以推广到任意数量的随机变量上，而且不管这些随机变量之间是否存在相关性，都可以使用这个公式计算它们的总体标准差。

标准差的正态分布是指，对于一个服从正态分布的随机变量，其标准差的取值也服从一个正态分布。正态分布是由它的平均数u和标准差唯一决定的常把它记为，即标准差条件下的正态分布记为

从形态上看，正态分布是一条单峰、对称钟形的曲线，其对称轴为 ，并在时取最大值从点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴但永不与x轴相交因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的。

通过以下三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

假设X是随机变量，数学期望 E(X)存在，并且定义也存在，则称之为X的方差，记作，即称为随机变量X的标准差。

已知随机变量X1均值和方差分别为a、b，X2的均值和方差分别为c、d，那么的方差是：即其标准差为

标准差的数学理解是对数据的离散程度的度量，它是每个数据值与平均值的偏差的平方平均数的平方根。如果数据的标准差较小，则表示这些数据非常接近平均值，数据的离散程度较小，而数据的标准差较大，则表示这些数据相对分散，数据的离散程度较大。用公式表示是：

标准差的基本计算步骤主要分为以下五步：

假设我们有10名学生在一份考试中的得分如下：[75, 80, 60, 90, 95, 70, 85, 85, 90, 65]

第一步计算平均值：=(75 + 80 + 60 + 90 + 95 + 70 + 85 + 85 + 90 + 65) / 10 = 80

第二步计算每位学生得分和平均值之间的差值：

75 - 80 = -5

80 - 80 = 0

60 - 80 = -20

90 - 80 = 10

95 - 80 = 15

70 - 80 = -10

85 - 80 = 5

85 - 80 = 5

90 - 80 = 10

65 - 80 = -15

第三步计算每个差值的平方值：

(-5)² = 25

0² = 0

(-20)² = 400

10² = 100

15² = 225

(-10)² = 100

5² = 25

5² = 25

10² = 100

(-15)² = 225

第四步计算平方求和，将所有差值的平方值相加：

25 + 0 + 400 + 100 + 225 + 100 + 25 + 25 + 100 + 225 = 1250

第五步计算方差：

平均方差=1250 / 10=125

最后计算标准差：

这组数据的标准差为11.18。这说明学生得分在平均分附近波动很大，差异较大，不能仅仅看平均数来评价学生的水平，而需要综合考虑标准差进行分析。

在经济金融领域，标准差可以用于衡量经济金融数据的波动程度和风险程度。

标准差在股票投资中扮演了非常重要的角色。投资者可以计算一只股票或组合股票的标准差来度量它们的风险程度。一般来说，标准差越大，相对风险程度也越高，因此能够帮助投资者评估其投资组合的风险度，以及在风险和回报之间做出权衡。

标准差也可以用于评估证券组合的风险水平。投资者可以计算证券组合的平均收益率和标准差，以评估该组合的价值和风险程度。投资者可以通过调整组合中各种资产的权重，来控制组合的风险和回报之间的平衡关系。

标准差在期权和期货交易中也是非常重要的一个统计指标。在期权和期货交易中，投资者需要评估市场波动率和价格风险，以便采取相应的对冲策略。标准差可以帮助投资者计算期权和期货的隐含波动率，帮助他们更好地控制交易风险。

标准差还可以用于货币交易和汇率变动的分析。投资者可以计算汇率的标准差来衡量市场波动，并通过衍生品和对冲工具的方式来规避交易风险。

标准差也可以用于评估经济数据波动程度，比如通货膨胀率、失业率和GDP等。标准差可以帮助经济学家和决策者评估市场和经济的波动性及风险，以及预测未来经济走势。

在社会科学领域，标准差用于测量和评估各种社会现象的数据波动和差异以及不确定性情况。

对于某些重要的社会群体，例如不同年龄、性别、种族或出生地的人群，社会学家可以使用标准差来描绘社会群体的总体和特征，例如人口数量、人口密度和人口增长率等。

在教育研究中，标准差可以帮助教育人员和社会学家了解学生某一领域的学术成绩的分布情况，例如学生的考试成绩等。同时，可以通过计算标准差来评估学生之间的差异以及学生在不同领域的学术表现的波动情况。

在心理学领域，标准差可以被用来研究人群或者一组数据中领域间的变异程度。例如，测试心理健康的量表可以用标准差来描述被试者之间的差异程度。

在社会调查分析中，标准差可以用来描绘社会调研数据的差异和波动情况，可以帮助设计合适的调研问卷和分析数据。通过调研数据的标准差，研究者能够更好地理解数据背后的含义，深入分析调研的结果和趋势，为政策制定和决策提供数据支持。

在医学领域，标准差也被广泛应用于不同医疗领域的统计计算和数据分析方面。

在设计和分析临床试验时，标准差是必不可少的一个统计量。标准差可以帮助研究人员确定试验的样本量、预测试验结果和确定试验数据的可靠性，有效地评估药物和治疗方法的有效性和安全性。

标准差在流行病学调查和数据分析中也是一个非常有用的工具。通过计算标准差，可以评估流行病学调查数据的差异，检查研究的数据是否符合正态分布曲线，提高流行病学研究的可靠性和改善公共卫生政策，同时还可以用于制定医学预算和数据管理。

在医疗数据分析中，标准差可以用于评估医疗数据集的变异程度。例如，医生可以比较某一患者的生命体征（如心率、呼吸率、体温等）与同龄、同性别、同体型健康人群的平均值以及标准差，判断该患者所表现出来的生命体征是否异常。如果该姑娘体温偏高，但其仍在其年龄、同性别人群体温的1个标准偏差内，那么该体温异常就不太可能是真正的健康问题。

在物理领域，标准差也有着广泛的应用，特别是在实验测量和数据处理中。

在实验室中，物理学家通常需要进行各种类型的测量，比如测量物理量的大小、重量、温度等，并通过实验数据来验证理论模型。由于测量设备的精度和操作人员的技术水平等因素，每个测量结果都可能带有一定误差。为了衡量这种误差，物理学家通常使用标准差来评估测量数据的离散程度，以确定实验数据是否符合预期。如果标准差比较小，表明测量误差较小，实验数据比较可靠。

在物理学中，很多物理量的大小可以通过测量或计算得到。由于测量误差和测量设备导致的精度限制等因素的存在，这些物理量都带有一定的不确定度。物理学家通常使用标准差来计算这些物理量的不确定度，进而评估测量数据的合理性和可靠性。

在物理学中，物理学家通常需要对一些物理量的分布进行分析，以确定其性质和规律。例如，对于一组时间数据，物理学家可以使用标准差来计算数据的离散程度和分布的形状，进而确定数据分布是正态分布还是非正态分布。在实际研究中，这种分布分析对于确定物理定律或预测自然现象的发展趋势等方面是非常重要的。

在物理学领域，可视化是一个非常重要的方法，可以帮助物理学家更好地理解数据。通过将实验数据绘制成柱状图、直方图或散点图等图形化形式，结合标准差等指标进行分析，可以直观地展现数据的分布情况和趋势，更容易发现数据中存在的规律和异常。

在工程领域中，标准差用于描述数据的方差和波动情况，从产品设计到质量控制、风险管理、实验分析等各个方面，都具有重要的作用。同时，标准差也能衡量产品的生产过程的稳定性，判断产品是否符合规格要求。下图就是一个工程测试数据例。

标准差在工程领域被广泛地运用于风险管理以及工程设计中。通过计算出项目中各种风险的标准差，工程师可以确定在各种情况下的风险预期波动值，并找到最好的可能性。此外，在设计阶段，标准差可以帮助工程人员确定潜在的影响范围，制定合理的设计方案，从而降低风险和损失。

在实验和测试阶段，标准差可以被用来评估数据的可重复性和一致性。通过评估标准差的大小，工程人员可以决定是否需要采取更多的测试措施，以达成更准确和可信的结果。

标准差的这些实际应用领域，其本质都是基于统计学，统计学还包括了假设检验、方差分析、回归分析和时间序列分析等针对实际问题的技术和建模方法。标准差则是这些方法的基本工具之一，用于检测数据的偏差和分析数据的波动性。标准差既能作为协变量，也可以用于估计模型中的误差项等，它在统计学中无处不在和非常重要。

近年来新的统计学方法不断涌现，但标准差在统计学中的地位和重要性仍然不可撼动。

标准差是评估机器学习模型质量的一种重要指标，可以衡量模型对数据的拟合程度和泛化能力。未来标准差在数据科学和人工智能领域的应用将越来越广泛。

大数据分析越来越重视样本量的大小，标准差可以作为评估样本总体偏差和离散程度的重要指标，可以更好地分析和解释数据集中数据的分布形态。

标准差也可以用来辅助数据可视化，通过绘制标准差的误差棒图，可以更直观地展示样本均值和标准差的变化趋势。