牛顿第二运动定律（Newton's second law of motion），又称为加速度定律，是经典力学中的一个核心理论，描述了质点在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并且与外力的方向相同。其内核是动量的变化与冲量成同向正比，具体而言，物体所受到的外力等于动量对时间的一阶偏导数(一次微分值)。当物体在运动中质量不变时，牛顿第二定律也可以用质量与加速度的乘积表示。

牛顿第二定律表明，物体所受到的外力等于其质量乘以加速度，可以用数学表达为力等于质量乘以加速度（F = ma）。这一定律强调了外力对物体运动状态的影响，为解释自然现象、预测实验结果以及推动科学进步提供了重要理论基础。

牛顿第二定律最早由英国物理学家艾萨克·牛顿在其重要著作《自然哲学的数学原理》中于1687年提出。这个定律是牛顿运动定律的三条之一，其他两条是牛顿第一定律和牛顿第三运动定律。牛顿第二定律的出现标志着经典力学的诞生，它的影响不仅限于物理学领域，还对西方哲学思想与文明的发展产生了深远影响。

牛顿第二定律在实际应用中具有广泛重要性，它被用于物理、汽车工程、航空工程、航天工程、电子学和电机工程学等多个领域，它可以用来设计高楼大厦的结构以确保其稳定性，还可以计算火箭的运动轨迹，实现从地球到其他天体的太空探测任务。这一定律为物体的运动行为提供了可靠的定量描述，因此在科学研究和工程设计中具有不可替代的地位。

牛顿第二定律表明，施加于物体的外力等于此物体动量的时变率：

其中，p是动量，t是时间。

由于动量等于质量乘以速度，所以，假若质量不变，则可得到加速度形式的牛顿第二定律，假若质量随着时间流易而改变，则该系统为可变质量系统，必须将时变质量纳入考量，更多内容，请参阅可变质量系统。

当运动中的物体质量不变时，牛顿第二定律可以表述为：物体所受到的外力等于质量与加速度的乘积，而加速度与外力同方向。以方程表达

其中，F是外力，m是质量，a是加速度。

按照第二定律，设定物体的质量不变，则物体的加速度与所受到的外力成正比，设定物体所受到的外力不变，则物体的加速度与质量成反比。

假设施加外力于某物体，则由于该物体的加速度只与外力、质量有关，在任何状况下，质量不变的物体都会表现出同样的加速度：

原版第二定律的英文翻译为：

“motion”是“quantity of motion”的简称，在这里指的是物体的动量。“impressed force”指的是冲量。整个句子翻译为：

牛顿对于动量与冲量彼此之间的关系的作解释：“假设施加于物体的冲量造成了物体的动量改变，则双倍的冲量会造成双倍的动量改变，三倍的冲量会造成三倍的动量改变，不论冲量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

动量改变与原先动量之间的关系：这动量改变必定与施加的冲量同方向。假设在冲量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。”

艾萨克·牛顿所使用的术语的涵义、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。

质量守恒，又被称为“牛顿第零运动定律”。牛顿并没有直接地提出这定律。第零运动定律表明，物体的质量守恒，与速度无关，与物体的受力无关．当几个物体相互作用时，或许会有质量从一个物体转移到另一个物体，但总质量不变。

对质点系，用牛顿第二运动定律时一般采用隔离法，或者采用质点系牛顿第二定律。

惯性参考系是指牛顿运动定律成立的参考系，在非惯性参考系中牛顿第二运动定律不适用。在惯性参考系中，若要知道物体在某一时刻的加速度，则必须从某个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）测量物体随着时间的流易而改变的位移，而在外力为零的前提下，这个静止物体（或呈匀速直线运动的物体）必须保持运动状态不变，这意味着必须从惯性参考系来测量整个物理系统。因此，牛顿第二定律已事先假设，物体的加速度是从惯性参考系测量到的数值。但是，通过惯性力的引入。可以使牛顿第二运动定律的表示形式在非惯性系中使用。

解决微观问题在部分情况下需要参考量子力学。当考察物体的运动线度可以和该物体的物质波相比拟时，由于粒子运动不确定性关系式（即无法同时准确测定粒子运动的方向与速度），物体的动量和位置已经是不能同时准确获知的量了，因而牛顿动力学方程缺少准确的初始条件无法求解。也就是说经典的描述方法由于粒子运动不确定性关系式已经失效或者需要修改。量子力学用希尔伯特空间中的态矢概念代替位置和动量（或速度）的概念（即波函数）来描述物体的状态，用薛定谔方程代替牛顿动力学方程（即含有力场具体形式的牛顿第二运动定律）。用态矢代替位置和动量的原因是由于不确定性原理我们无法同时知道位置和动量的准确信息，但是我们可以知道位置和动量的概率分布，测不准原理对测量精度的限制就在于两者的概率分布上有一个确定的关系。

当速度高到一定程度时，由于相对论的影响，牛顿第二运动定律有时候并不能解决问题。由于牛顿动力学方程不是亨德里克·洛伦兹协变的，因而不能和狭义相对论相容，因此当物体做高速移动时需要修改力、速度等力学变量的定义，使动力学方程能够满足洛伦兹协变的要求，在物理预言上也会随速度接近光速而与经典力学有不同。

牛顿第二定律是一种决定性定律。假定物体的质量、初始位置与初始速度为已知量，则从施加于物体的外力，可以应用牛顿第二定律来计算出物体在其运动轨迹的任意时间的位置与速度。

当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持对应关系。力和加速度同时产生、同时变化、同时消失。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应，加速度只有在外力作用时才产生。生活中的例子：当你用力推动一辆停在路上的自行车，自行车会立即加速。然后，你停止施加力，自行车将立即减速并最终停下来。

力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。生活中的例子：一辆汽车在道路上行驶时，同时受到引擎产生的驱动力、摩擦力和空气阻力等多个力的影响。这些力的方向和大小决定了汽车的总加速度和运动方向。

什么方向的力只产生什么方向的加速度，而与其他方向的受力及运动无关。牛顿第二定律中的F可以是单个的力，也可以是这些力的向量和。生活中的例子：在斜面上放置一个物体，它可能同时受到重力、摩擦力和斜面支持力等多个力的作用。通过将这些力分解成沿斜面和垂直斜面的分量，可以计算物体的加速度和滑动方向。

力是改变物体运动状态的原因，质量大的物体的运动状态不容易改变。加速度是力的作用效果，所以力是改变物体运动状态的原因。人教版高中物理必修一书中设定了相关证明实验，用槽码牵引小车运动，直观地证明了这一点，在槽码勾放到小车之前，小车静止。

虽然力的大小与方向等于物体质量与加速度大小的成绩数值和方向，但是物体质量与加速度的乘积并不表示力，而是反应物体状态变化情况的。虽然物体的质量等于力与物体加速度的比值，但这只是度量物体质量大小的计算式，物体的质量与其受力和加速度无关。

1638年伽利略·伽利莱指出：“以任何速度运动着的物体，只要除去加速或减速的外因，此速度就可以保持不变。”伽利略和勒内·笛卡尔认为，在没有外加作用时，粒子或者匀速运动，或者静止。艾萨克·牛顿把这一假定作为他的第一定律，并将伽利略的思想进一步推广到有力作用的场合，提出了他的第二定律。

约在1684年11月的《论物体的运动》手稿的第5节中，牛顿写道：“加速的量或力与既定时间内产生的速度成比例···运动的量或力与在既定时间内产生的运动成比例，像重物的力在较大的物体中较大，在较小的物体中较小。所以运动的力与加速的力之比和运动与速度之比一样，因为运动量是由速度乘以运动的物体，而加速力的量是由加速的力乘以同一物体得出的。”这是艾萨克·牛顿第一次在手稿中提出F=ma的文字表述。

17 世纪英国著名的天文学家埃德蒙多·哈雷（Edmond Halley）说服牛顿，将20年前就已开始思考的引力问题最终成熟、完善。全力促成牛顿《自然哲学的数学原理》的出版。在哈雷的劝说与鼓舞下，自1684年8月后，牛顿专心于《自然哲学的数学原理》的写作，他对自己的手稿进行系统的整理，并对有些问题重新考虑。到1685年11月，九页的论文已变成了两卷专著。哈雷担任了《自然哲学的数学原理》的出版工作。1687年7月5日，《自然哲学的数学原理》使用拉丁文出版问世了。

艾萨克·牛顿三大定律的表述基本上采用的是牛顿在总结前人基础上，发表于1687年《自然哲学的数学原理》上的表述。方程f=ma在牛顿的名著《自然哲学的数学原理》中从未出现过。原文翻译如下：第二运动定律运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线的方向上。

变速直线运动的速度v(t)是位置函数x(t)对时间t的导数，用公式表示如下：

加速度a是速度v对时间t的变化率，即加速度a是速度v对时间t的偏导数，用公式表示如下：

这种导数的导数是位置函数x(t)对时间t的二阶导数，记作如下形式：

即直线运动的加速度为位置函数x(t)对时间t的二阶导数。

牛顿第一运动定律（Newton's First law of Motion），也叫惯性定律，是经典力学中的基本定律之一。艾萨克·牛顿于1687年在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中发表，与牛顿第二运动定律、牛顿第三运动定律统称为牛顿运动定律。

牛顿第一运动定律描述了物体在不受外力作用时会发生什么。物体如果不受任何外力，它将保持其当前状态：静止或匀速直线运动。

牛顿第三运动定律（Newton's Third law of Motion）是牛顿于1687年于《自然哲学的数学原理》一书中提出的，与牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律统称为牛顿运动定律。

牛顿第三运动定律描述了相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。表达式为F=-F’。但仅适用于宏观系统和部分介观系统的惯性参考系中运动速度远比光速低的实物间的相互作用的力学性质研究。

任何物理定律都必须具有可证伪性，即必须能够对于物理定律做实验证实是否正确。为了要明确牛顿第二定律是否具有可证伪性，必须对于加速度、力与质量做测量。测量加速度很简单，加速度是速度的时间变率，只要能测得速度改变与时间间隔，则可计算出加速度。然而，怎样测量力与质量，力与质量的定义为何，怎样在定义里给出物理量的量度程序？

在对于质量与力给出定义后，按照这些定义里的定量描述来测量物体的质量与物体的受力，再加上从观测物体的运动得到的加速度，就可以很容易地检试牛顿第二定律的正确性。

很多常用教科书对于力的定义不尽人意。在大卫·哈勒代（David Halliday）与罗伯特·瑞思尼克（Robert Resnick）著作的教科书基础物理学里，力被定义为造成物体加速的作用。类似地，在大学物理教科书里，力也被定义为两个物体之间或物体与环境之间的作用。但是，它们都没有对于“作用”给出解释。保罗·提泊罗（Paul Tipler）在《科学家与工程师的物理》教科书里，将力定义为造成物体改变速度的影响。那么，“影响”又是什么呢？在道格拉斯·基安可理（Douglass Giancoli）撰写的教科书里，力的定义是可以直觉地被人们体验为对于物体的“推”或“拉”。可是，作者并未进一步解释推或拉怎样改变物体的运动状态。这些概念性定义都无法对于力这基础术语用更为基础的概念来表达。

古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）首先提议，将力定义为质量与加速度的乘积。按照这提议，第二定律只是一个数学定义式，而不是自然定律。假若第二定律只是一个数学定义式，则它在物理学里毫无用处，因为无法从数学定义式对于大自然给出任何预测。整个经典力学会变成一种公理化理论，所有结论都是源自于这个定义，而不是源自于从做实验推断出的“自然定律”。实际而言，这提议没有将在大自然里各种各样的力，像弹力、引力、电磁力等，纳入考量，它忽略了每一种力的独特性质，例如，每一种力都有它的物质源。假若要将实际物理引入这公理化理论，则必须检试对于力的定义所推导出的结果是否符合实际物理，只有符合实际物理的定义才可被采纳，换句话说，从对于力的定义所推导出的结果必须符合实验的检试，否则不能被采纳。

有些学者主张使用操作定义的方法来对于力给出严格定义，假设两条同样的弹簧被延伸同样的距离，其各自产生的“弹力”（一种物理现象）相等，则将这两条弹簧并联，可以制成两倍的弹力，又将一物体的两边分别连接这两条弹簧的末端，使弹力方向相反，则作用于物体的合力为零，物体的运动状态不会改变。为了对于弹力给出定量描述，设定“标准单位力”为某特定弹簧延伸特定距离所产生的弹力。称这特定弹簧为“标准弹簧”。任意整数倍的标准单位力都可以用几条标准弹簧所组成的系统来实现，对于标准单位力的任意分数倍，可以应用阿基米德的杠杆原理来实现。弹簧系统可以用来做测量实验，对于任意力做比较，给出它的测量值。例如，假设悬挂于两条标准弹簧的一个物体，正好能够将这两条标准弹簧延伸特定距离，则这物体的重量等于两个标准单位力。

虽然质量在物理学教育里占有中心地位，人们并不很清楚质量的概念，很多教科书对于质量的定义也不甚令人满意，它们都有一些重大瑕。这些定义所涉及到的困难，大部分出现于将经典描述融入现代描述的后果之中，而且清楚地在广义相对论、量子色动力学、强相互作用理论等等现代理论里显现出来。

有一种可以追溯到中世纪的定义将质量设定为物体内部所含有的物质数量。这也是艾萨克·牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》里对于质量给出的定义，按照这定义，质量可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫对这定义给出严厉批评，他认为这定义触犯了循环推理，因为密度的定义是每单位体积的质量。

从测量的角度来看，牛顿并没有给出任何测量密度的方法，所以，也没有给出测量质量的方法。牛顿不能对于质量与密度同时给出定义，因此，质量并未被严格定义。但是，牛顿的想法并不是这样，他把物体视为由很多微小的基本粒子均匀组成的聚集体，他认为这聚集体的结构是更为基础的概念，在计算物体的质量时，他会数算物体的小粒子数量，这数量乘以每个基本粒子的质量就是物体的质量。因此，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，这参考物体S可以是石头、金块或铁块．那么，n个物体S的质量必定是这标准单位质量的n倍。

另一种定义是基于惯性的概念。在这定义里，质量被用来量度物体对于改变它的运动状态的抗拒能力。因此被称为“惯性质量”。然而，不管这定义是如何真确，它并没有给出量度质量的方法，人们无法直接估算物体的质量数值，因此，这定义似乎更像是一种形而上学定义。

回溯在经典力学里，假设使用一条先前论述的标准弹簧，施加一个标准单位力F0于某物体，则可从测量这物体随着时间流易而呈现出的速度，估算出这物体的加速度，标记其为a0。继续做实验，假设施加两个标准单位力2F0于这物体，则可从测得这物体的加速度为2a0。类似地做实验，施加弹力F于这物体，然后测量这物体的加速度a，可以得到力与加速度彼此之间的关系式:

其中，k是比例常数。

辨识这比例常数为惯性质量，则可察觉这关系式就是牛顿第二定律的方程。

由于上述两种概念性定义的种种缺点，学者们常会使用操作性定义来给出定量描述，这种定义追溯至恩斯特·马赫对于质量定义的原创研究。马赫的定义只使用到运动学概念，完全不需涉及到力的概念。

假设在宇宙里的两个物体A、B离其它物体非常遥远，因此这两个物体可以被视为处于一个孤立系统。从某个惯性系统观察，这两个物体因相互影响而使得他们各自呈现的加速度分别为aAB、aBA。从所有完成的关于这类系统的实验总结，它们的加速度的方向相反，而比率可以用“加速度比率公式”来表达为

其中，KBA是标量常数。

标量常数KBA的恒定不变可以被视为力学的一条基础定律，其为从做实验获得的结果。恩斯特·马赫特别为此提出“实验命题”：在实验物理学设定的状况下，两个物体引发对方沿着彼此连线各自呈现相反的加速度方向，而加速度的比率为常数，并且与物体的物理状态无关。

设想另一个物体C，由于物体C与A、C与B彼此之间的相互作用，按照第一实验命题，

从做多个实验获得的另一个重要结果可以用“标量常数公式”来表达为

因此，可以得到关系式

这关系式显示出，选择物体A为标准物体，那么，每一个其它物体都会伴随着一个常数，任何与该物体相互作用的物体都无法改变这常数。常数KBA可以被称为物体B的质量，相对于物体A。由于物体A是参考物体，常数KBA可以被简称为物体B的质量mB。这样，关系式可以被改写为“质量-加速度关系式”

这质量定义的适用范围很广泛，例如，当两个物体A、B被连结于一条理想弹簧的两端时，它们彼此之间的相互作用为弹力，先将弹簧压缩，然后放松，从测量它们因此动作而出现的加速度，可以按照加速度比率公式计算出标量常数KBA。再举一个例子，当两个物体A、B在进行约翰尼斯·开普勒二体运动时，它们彼此之间的相互作用为引力，从测量它们进行轨道运动时的加速度，可以计算出标量常数KBA。对于这些案例，前面列出的加速度比率公式与标量常数公式都成立。这质量定义能够给出一种用来比较质量的方法，其为这样做质量定义的重要目的。

注意到质量-加速度关系式展示出，当两个物体相互作用时，两个粒子的质量与加速度大小的乘积相等，并且这乘积与两个物体的相对位置、相对速度或时间有关。将力定义为质量与加速度大小的乘积：

这就是牛顿第二定律。

将力的定义式代入质量-加速度关系式，就可以得到牛顿第三运动定律：当两个物体相互作用时，彼此施加于对方的力，其大小相等、方向相反，

牛顿第二运动定律实验是物理中的一个很基础、必要的验证性实验，涉及到检验一个物理定律或规律的基本途径和方法，因此对于其实验精度往往有特殊的要求。

牛顿第二运动定律验证实验，就是测量在不同的 作用下运动系统的加速度，并检验二者之间是否符合上述关系。

利用现代的实验教学设施改进和补充原来的实验手段，更能体现出物理学的科学素养和科学态度。

1983年，莫德采·米尔格若姆提出的修正牛顿动力学理论表明，由于星系自转问题，即被观测到的在星系里恒星的速度大于牛顿力学的预测速度，牛顿万有引力定律或牛顿第二定律可能需要修正。[26]除了暗物质理论以外，修正艾萨克·牛顿动力学理论也可以用来解释星系自转问题。 这理论的适用区域大约在加速度为a0210-10m/s2的数量级。为了符合天文物理学数据，这理论将牛顿第二定律修改为

其中，（a/a0）是个函数，其符合以下两个条件：

一般而言，在各种物理案例中，很少会遇到这么微小的加速度，然而，假若修正牛顿动力学理论确实被证实，则整个经典力学与广义相对论都需要被修改。因此，验证修正牛顿动力学理论是很重要的实验研究论题。

1986年，使用干涉仪测量摆质量的加速度对于时变电场的响应，物理学者证实，在加速度为310-11m/s2的状况下，牛顿第二定律仍旧有效。2007年，使用扭摆来表现对于时变电场的响应，实验证实，在加速度为510-14m/s2的状况下，牛顿第二定律正确无误。2011年，物理学者做实验测量微波共振器对于引力作用的响应，但并未在加速度为10-10m/s2的状况下找到任何偏差。2014年，使用纽秤来量度引力引起的加速度，物理学者在加速度为10-12m/s2的状况下仍未发现任何偏差。

假设施加外力F于某物体的时间有那么久，则冲量J于此物体：

根据现代的第二定律，

经过，假定质量不变，动量P的改变为

所以通过上式可得，冲量与动量之间的关系为

这就是原版第二定律。

冲量的概念时常被用来分析碰撞与撞击问题。

火箭的燃料经过燃烧以后，会产生高温高压气体，经过加速排气到外界，就可以推动火箭前进。第二定律不能直接应用于这种可变质量系统。基本而言，第二定律只能应用于单独粒子（或理想化为粒子的物体），其质量守恒。对于多粒子系统案例，必需将第二定律加以延伸为

其中，Fext是施加于系统的合外力，P是系统的动量，M是系统的总质量，vcm是系统质心的速度。假设合外力Fext为零，则动量守恒，即最初动量Pi等于等于最终动量Pf

假设在时间t+dt之间，火箭的质量从m变为m+dm，即质量为-dm的燃料被燃烧与被排出，燃料排出时的速度为U，火箭的速度从v变为v+dv，那么，动量守恒方程可以写为

注意到火箭速度v与燃料速度U都是从发射台参考系观测到的速度。那么，相对于火箭参考系，燃料排出的相对速度vrel为

经过一番运算，可以得到

对于像火箭一类的可变质量系统，必需将第二定律的方程添加一个项目，这项目专门计算进入或离开火箭的质量所带有的动量

其中，Fext是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的重力。

火箭的推力定义为

将这定义式代入，可以得到

其中，F=Fext+Ft是外力与推力的向量和。

汽车制造商使用牛顿第二定律来计算引擎所需的力以及所能提供的加速度，这有助于确定汽车的性能特征。例如我们设V0为一段时间开始时刻的起始速度，Vt为一段时间结束时刻的末速度，我们在一段时间t之内希望汽车得到这样的速度变化就可以通过力学公式Vt＝V0+at，求解出所需要的加速度大小。又已知汽车的总质量m在一定范围之内，我们就可以通过牛顿第二运动定律的公式F=ma，得到引擎所需要产生的力。

汽车制动系统的设计依赖于牛顿第二定律，以确定需要多少力来停止车辆，以及刹车距离和效率。

汽车制造商使用牛顿第二定律来研究和设计车辆的碰撞安全性，以确保车辆在碰撞中提供足够的保护。

在航空工程中，牛顿第二定律用于计算飞机的升力和推力，以保持飞机在空中平稳飞行。

工程师使用该定律来研究和优化飞机的气动性能，以确保飞机的稳定性和操纵性。

燃料效率的计算也依赖于牛顿第二定律，以确定飞机的速度和飞行特性。

在航天领域，火箭推进的设计和性能计算依赖于牛顿第二定律。工程师使用它来确定所需的推力和燃料量。

将卫星送入轨道和计算载人飞船的轨道也需要使用该定律。

电子学中使用该定律来分析电路元件的行为和性能，以确保电路的稳定性和效率。

电机和发电机的设计也依赖于牛顿第二定律，以确定所需的力和磁场特性。

总之，牛顿第二定律在各个领域都有广泛的应用，从工程和航天到体育科学和医学，以及日常生活中的交通工具和设备设计。它为科学家、工程师和研究人员提供了一个强大的工具，用于理解和预测物体的运动和相互作用。