幂函数是基本初等函数之一。

幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时：a\u003e0，定义域为[0,+∞)；a\u003c0，定义域为(0,+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。

(1)当m，n都为奇数，k为偶数时，如，，等，定义域、值域均为R，为函数奇偶性；

(2)当m，n都为奇数，k为奇数时，如，，等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

(3)当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如，等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；

(4)当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如，等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

(5)当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如，等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为函数奇偶性；

(6)当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如，等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。

幂函数的图象一定在第一象限角内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

当α\u003e0时，幂函数有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c、在第一象限内，α\u003e1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0\u003cα\u003c1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

当α\u003c0时，幂函数有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为易得到其为函数奇偶性。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

当α=0时，幂函数有下列性质：

a、的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

（1）所有的图像都通过（1，1）这点.(α≠0) α\u003e0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α\u003e0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

②当α\u003e0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；

③当α\u003c0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

④当α\u003c0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

（3）当α\u003e1时，幂函数图形下凹（竖抛）；

当0\u003cα\u003c1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当α\u003c0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α\u003c0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）α=2n（n为整数）,该函数为函数奇偶性 {x|x≠0}。

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果，且为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；

α的分母为偶数时，x不小于0；

α的分母为奇数时，x取R。