不动点，是一个函数术语，在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。

取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来联会点的正上方。

通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。

纸被揉成球以后，看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团）

假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多馀的纸去掉。

就是说：

整个纸盒对应于纸团

纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块

纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块

纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块

…………………………

不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。

例如，定义在实数上的函数f，

，

则2是函数f的一个不动点，因为。

也不是每一个函数都具有不动点。例如就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）

2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式

3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题

4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）

5 求解一阶递归数列的极限

这是利用不动点开立方（牛顿切线法）的例子

开方：

公式：设，开3次方

5介于至之间（）

可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：

第一步：。即，，，输入值大于输出值，负反馈

，取2位数值，即1.7。

第二步：。

即，，，输入值小于输出值正反馈

。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：.输入值大于输出值，负反馈

第四步：.输入值小于输出值正反馈

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。.

当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。

对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求。