离散时间信号的(时间)自变量仅在离散时刻有定义。大多数离散时间信号是由对连续时间信号采样得到的,取值上可以仍然取连续值。信号可以以
时间序列表示,对于一维信号,以两个
向量方式表示,例如n = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]和x = [2, 1.2, -3.6, 0, 1, 4, 6.3]。更高维的信号也可以用多维向量表示。
在时间上依次出现的数值序列,例如,。相邻两个数之间的时间间隔可以是
相等的,也可以是不等的。在前一情况下,设时间间隔为T秒,则离散信号可用符号来表示(图1)。在间隔T 归一化为1的条件下,T可以省略,即将表示为。既可表示整个序列, 也可表示离散信号在nT瞬间的值。
离散信号可以由连续时间信号
抽样得到。抽样过程可用图2来说明。在图2中开关每隔T秒闭合,则输出信号就是离散时间信号。间隔时间的长短决定抽样的离散时间信号能否唯一地表示连续时间信号。抽样
定理指出:一个有限
频谱的连续时间信号,如果其频谱只含有以下的
角频率分量,则信号可以用等间隔的抽样值来唯一地表示的条件是,间隔T 必须满足下述关系:
抽样间隔T的
倒数称为抽样频率,用表示。从(1)式可见:最低的抽样频率应该是连续时间信号中最高频率分量的两倍。这个最低的抽样频率通常称为奈奎斯特抽样率。
由于只有单位
抽样信号的宗量等于零时,该信号才能取1的值,因此还应有
和离散时间信号的自变量(时间)是离散的,但其幅度是连续可变的。如果幅度经过量化编码,则成为
数字信号序列。
J.A.Cadzow,Discrete-
时间 System,Prentice Hall,Englewood Cliffs,New Jersey, 1973.
在
系统分析中,离散复指数信号是一个非常重要的基本信号,在序列的傅立叶分析含离散系统的频率特性中得到广泛的应用。它的作用相当于在连续信号和连续系统的傅立叶分析所用到的基本信号。离散复指数信号由尤拉公式可得为实部表示离散
余弦序列,虚部为离散
正弦曲线序列。
若,信号随k
指数增长,序列呈现发散;若,换句话说当介于0至1之间时,则信号随指数
衰减,序列呈现收敛。另外,若为
正数时,信号的样值不改变符号;若为
负数时,信号的样值符号交替变化。若,则。
对任何值,信号都是周期的。对于
正弦曲线序列,以上两项与连续信号相比有很大的不同。对于离散正弦序列,离散正弦序列在频率与频率时是完全相同的,连续时间正弦信号对于不同的就对应着不同的信号;而对于频率为的离散时间正弦信号与频率为,...这些离散正弦信号是完全相同的。因此在考虑离散正弦信号时,只需在某个间隔内选择频率就可以。通常选择或区间。通过以上的讨论可知,离散
正弦信号并不是随的无限增加而无限增加其振荡
速率的。事实上,离散正弦序列的振荡速率是随从0(
常数序列)开始增加的,直到为止,若继续增加的话,其振荡速率就会下降,直到(常数序列)为止。因此离散正弦信号的低频段在为0,,...附近:而高频段在为,附近,此时信号在每个点上都改变符号,产生最快速振荡。