三角恒等式（英文名：trigonometric 恒等式），指含有三角函数且对任意角都成立的等式。

三角恒等式的历史可以追溯到克罗狄斯·托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世纪所著的书《天文学大成》。托勒密的《斜截面》（Sections Angulares）(该书在他死后于1615年出版)推动了三角恒等式的进一步发展。到了14-16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要研究内容，其中包括三角恒等式的建立和推导。后来，法国数学家韦达（François Viète）把解平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，并且把这些恒等式表示成代数形式。

三角恒等式包括基础三角恒等式、两角和差公式、倍角公式、积化和差公式、和差化积公式、正切半角公式、降幂公式、诱导公式、三角级数等。它可以应用于求解不定积分和几何问题，使复杂的的问题简单化。同时，三角恒等式还常应用于研究物理中的简谐振动。

三角恒等式，含有三角函数且对任意角都成立的等式称为三角恒等式。恒等式对于任何的值都成立。这种等式就是三角恒等式。

一般地，如果函数有相同的定义域，且在定义域内的任何取值都相等，同时，有一个为三角式，就称是无条件三角恒等式，例如，。如果只在一定条件下成立，则为条件三角恒等式，例如，当时， 。

注：本文所有三角恒等式统一用、、、表示三角函数的自变量。

三角恒等式的历史可以追溯到克罗狄斯·托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世纪所著的书《天文学大成》，书中包含了两角和差公式、二倍角公式。随后托勒密还建立了很多三角恒等式，如两角差恒等式以及用和表示和的恒等式，其中后一个写在他所著的《斜截面》（该书在他死后于1615年出版）一书中。到了14-16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要研究内容，其中包括三角恒等式的建立和推导。后来，法国数学家韦达（François Viète）在他著于1591年并出版于1615年的《论方程的整理与修正》（De Aequationum Recognitioneet Emendatione）一书中，提出了用一个三角恒等式解出不可约三次方程，该方法后来一直为人们所用。从而避免使用卡丹的公式，这丰富了三角恒等式的应用。同时，他把解平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，并且把这些恒等式表示成代数形式。

根据棣莫弗定理得到用复数表示的n倍角公式：

也可以表示为：

辅助角公式逆用了两角和的正弦曲线公式，主要作用是化角为函数来研究三角函数的性质，公式如下：

。

式中为正整数。

由于正割、余割与余切分别是余弦、正弦曲线与正切的倒数，根据三角函数相互转化的关系可以得到正割、余割与余切函数的诱导公式。

角（为任意的整数）的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

角的恒等式：

口诀：奇变偶不变，符号看象限角。

根据三角函数系的正交性，将三角级数逐项积分可得欧拉——傅里叶公式，公式如下：

由欧拉——傅里叶公式算出的系数叫做函数的傅里叶系数，以为系数作出的三角级数叫做函数的傅里叶级数。

证明三角恒等式通常有三种途径：

（1）从恒等式的任意端（如左端或右端）出发，进行变换，（通常选取表达式比较复杂的那一端），使它等于等式的另一端（右端或左端）。

（2）从恒等式的两边同时进行变换，证明两边式子都与同一个式子恒等。

（3）先假定等式成立，对等式做适当的变换，或化简而得到一个新的关系式，再证明新式恒等，从而原恒等式得证。

下面，提供利用两角和公式证明倍角公式：

，

当时，有。

，

当时，有。

因此，。

又因为，，

因此，。

即，

因此，。

又因为，

因此，。

因此，。

例题： 化简。

解答：

。

例题： 证明正弦曲线函数与余弦函数的叠加是一个简谐函数。

角频率相同的正弦函数和余弦函数的叠加是一个简谐函数，即

。

其中，都是与自变量无关的常数。

解答： 根据两角和公式得，

。

将两边各自平方并开方，得

。

将两式相除，得

。

例题： 计算下列不定积分：。

解答： 由凑微分法有 ,

利用降幂公式可将分母转化为,

。

三角恒等式还可以用在数学证明上，在证明过程中，把各种几何量借助于三角函数表示出来后，要证明的结论就体现成一个三角恒等式，于是解决这个问题的关键就是证明一个适当的三角恒等式。

例题： 求证，若两弦、垂直相交于、、是、中点，则。

解答： 设半径为1，可如图标出，

因为,

所以，。

例题： 某角的弧长等于它的半径，计算它的余弦值到小数点后四位。

解答： 由三角函数级数可知，;

由题意可知，;

故有，

。