伽利略·伽利莱变换（Galilean transformation）是伽利略相对论中的一组方程，能够将匀速运动的两个参考系中的时间和空间坐标联系起来，其推导的理论基础是经典体系下的绝对时间和绝对空间理论。在经典力学作用下，时间与空间相互独立，此时的时空坐标变换理论即为伽利略变换，它保证了时间和空间的尺度在不同惯性系中观测的一致性；但在狭义相对论中，时空是相关的，此时的时空坐标变换理论为洛伦兹变换，描述了时间和空间尺度在不同惯性系中观测量的改变。

伽利略·伽利莱变换的思想最早出现在1632年伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）所写的《Dialogue Concerning the Two Chief World Systems》一书中关于相对性原理的论述中，用来反驳当时反对地球运动论的各种实验，有力的说明了地球运动的合理性；之后亨利·庞加莱进一步提出了相对性原理，将所有物理规律变换到相对空间中。经过历代科学家的不断推广，伽利略变换的思想和理论基础不断完善，最终在21世纪初期正式确立了伽利略变换的名称。

总的来说伽利略变换作为经典力学中时空变换的基础性方程，在经典力学的诸多领域都有广泛应用；其体现出的伽利略相对性原理，更是为之后的艾萨克·牛顿相对性原理和阿尔伯特·爱因斯坦相对性原理奠定了基础。时至今日，相对性原理及其衍生变换理论在宇观尺度上仍然是物理学和天文学的基准，并且关系到引力和暗宇宙的演化，具有较大的物理意义。

伽利略·伽利莱变换实际上并不是由伽利略·伽利莱提出的，之所以被称为伽利略变换，很大程度是由于伽利略变换是从伽利略·伽利莱提出的相对性原理中产生的。1632年，伽利略在他的著作《Dialogue Concerning the Two Chief World Systems》中提出“只要运动是均匀的，⽽不是这样那样波动，你就会发现所有提到的那些事情都没有丝毫变化，你也⽆法从其中任何⼀个事情中判断出船是在移动还是静⽌不动”，这往往被认为是伽利略相对性的最早出处。

之后亨利·庞加莱在1902年出版的《科学与假设》中进一步地提出“在任一物质系统中发生的现象的规律(laws)将依赖于这些物体的状态及其相互间距；但是，由于空间的相对性和被动性(passivity)，这些规律将不依赖于这个系统的绝对位置和取向”，将物理规律从绝对空间变换到了相对空间中，进一步确立了相对性原理。

伽利略变换的产生脱胎于相对性原理，1908年，Philippe Frank首次提出了“伽利略变换”的概念，之后伽利略变换的叫法被沿用至今，用来描述经典时空变换理论；时至今日，有学者证明了伽利略变换在波动方程变换下的不变性，进一步加强了伽利略变换和相对性原理。

按照经典物理学，当两个惯性参考系以恒速作相对运动时，两个参考系中的时空变量服从的伽利略·伽利莱变换基本公式如下，这一线性公式同时也是伽利略平移变换的表征式，下文中的伽利略群则是伽利略旋转变换的表征式。其中沿速度的方向，该伽利略变换方程的推导可以通过时空图来完成。

设参考系相对于参考系的运动速度为，用下图表示两个参考系的相对运动，观察点的运动状态分别由位于和两个参考系中的静止视镜进行观察。

根据位于参考系中的静止观察器，点以速度运动，并在时间内运动了距离；在位于参考系中的静止观察器看来，点以速度运动，在时间内运动了距离，此外，由于两个参考系在相对运动，因此在时间内参考系相对参考系运动了距离，在图中表现为绿色曲线。

按照经典物理学的观点，时间和空间是不关联的，时间是绝对的，与选择的惯性参考系不同；长度则是借助一个不随运动状态改变的尺决定的，在不同惯性参考系下测量同一段长度得到的结果是相同的，即上图中线段OP的长度在参考系和参考系中的测量结果相等，由此可得：

，

再进一步，由于，，所以由上式可得伽利略变换的速度方程为：

上面三个方程实际上就是三个传统的伽利略方程，包含了时间、空间和速度三个变换公式；将空间坐标的变换进一步扩展到三维，取方向的相对运动速度为，可以得到在方向的坐标变换方程为：

，

将三个方向上的坐标变换方程与时间变换方程结合起来，就得到了在本章开头所写的伽利略·伽利莱时空变换的完整形式。这种利用几何推导伽利略变换的方法使伽利略变换具有更强的可信性，并能够应用到对于伽利略变换更新的研究中，如对于波方程对变换条件下伽利略变换的不变性的研究。

在伽利略变换中有变换前的四维坐标与变换后的四维坐标，其满足的线性变换形式为，这里的G即为伽利略群的一个基本矩阵，对伽利略变换矩阵各值满足如下的基本形式：

又由于伽利略变换的相对性，正变换与逆变换的形式相同，不同的仅仅在于宇称符号的改变，因此该变换矩阵的逆矩阵。在此基础上可给出伽利略群的定义为：，其对应的函数映射为，函数自变量为伽利略变换矩阵G，由变换矩阵的性质和函数映射的关系可得该映射函数满足变换关系。

亨利·庞加莱最先提出，应该把相对性原理作为自然界的普适原理之一，他在1904年提出“按照相对性原理，物理现象的定律对于静止和匀速平动观测者必须是相同的，因此没有办法、也不会有办法确定观测者处在哪一种运动状态”。之后，庞加莱将伽利略变换推广成了非齐次洛伦兹变换，并证明了洛伦兹变换构成群，且引进空间和时间的平移变换后，仍然成群，这种非齐次的洛伦兹变换群也被称为庞加莱群，是庞加莱变换的群表达。不过，需要说明的是，亨利·庞加莱变换虽然是伽利略变换的推广，但在光速无限大的极限条件下，一般的庞加莱变换会回到同样具有10个参数的伽利略变换。

根据伽利略·伽利莱定律中的速度变换公式，对其求导可以得到加速度变换公式，由于参考系的相对运动速度与时间无关，因此有：，即，这说明同一质点的加速度在不同的惯性系内测得的结果是一样的。

此外，在牛顿力学中，质点的质量和运动速度没有关系，因而也不受到参照系的影响；又由于力只跟质点的相对位置或者相对运动有关，因此力也是和参照系无关的，即：。

因此，只要牛顿第二运动定律在参照系中是正确的，由以上信息必然有：，即对参照系来说，牛顿第二定律也是正确的，由于参照系的选择是任意的，可以缩牛顿定律对于任何惯性系都是正确的，这样，就由伽利略变换得到了艾萨克·牛顿相对性原理，这是牛顿力学的一个重要原理。

伽利略变换与艾萨克·牛顿的绝对时间、绝对空间的概念有关，适用于低速、宏观的经典物理学领域。在这种理论体系中，时间概念的定义是借绝对的“钟”（它的运动状态不影响其快慢）和某种传播速度无限大的信号完成的；长度是借绝对的尺（它的运动状态不影响其长度）来定义的，如果这一前提条件不成立，伽利略变换就不再成立，因此伽利略变换适用于非相对论效应下的低速宏观领域。

在十九世纪中叶，麦克斯韦理论已经基本形成，此时伽利略变换也已经在经典物理学中得到了广泛应用，人们自然而然提出了这样一个疑问：电磁现象的基本规律的形式对于不同的惯性系是否相同。后续的研究结果表明，采用伽利略变换对电磁现象的基本规律进行变换后，这些规律对不同的惯性系不具有相同的形式，这就意味着伽利略变换和电磁现象的符合性之间发生了矛盾，这其中尤以对光速数值的讨论最为突出。

按照经典理论，以表示在参照系中测量得到的真空光速，以表示在参照系中测量得到的真空光速，根据伽利略变换的速度变换式可得：

但是根据詹姆斯·麦克斯韦的电磁场理论，光在真空中的速率由下式决定：

其中，分别是真空中的介电常数和磁导率，是两个电磁学常数，与参照系无关。也就是说，按照麦克斯韦理论，在任何参照系中测得的光在真空中的速率应该是一致的，这一结论为后来的很多实验所证明，其中最著名的实验就是1887年阿尔伯特·迈克尔逊和莫莱的实验。

这一实验结果表明，光或者电磁波的运动不服从伽利略变换，詹姆斯·麦克斯韦电磁理论和伽利略变换这一直接的矛盾暴露了伽利略变换的绝对时空观存在的问题——在高速情况下不一定适用。这也促使人们对时空的概念进行了更深入研究，继而引出了后续对于狭义相对论和洛伦兹变换的研究，进一步完善了时空变换的体系。

伽利略变换却是牛顿经典力学的基础性工作，由此展开的经典力学第一次给人们提供了一个统一的自然科学世界图像，物体的运动规律和运动过程可以借助数学语言来准确描述，这些认识对于物理学其他分支学科都有很大影响，构造了物理学的基本框架。

除此之外，伽利略·伽利莱变换所体现出的伽利略相对性原理，将人类对于时空的认识向前推进了一大步，成为建立相对论的一个重要起点，在狭义相对论中，阿尔伯特·爱因斯坦将该原理的适用范围进一步扩展到了所有物理现象。时至今日，相对性原理及其衍生变换理论在宇观尺度上仍然是物理学和天文学的基准，并且关系到引力和暗宇宙的演化，具有较大的物理意义。