“庞加莱群”是天文学专有名词，同时在物理学与数学中也具有重要意义。它是狭义相对论中赫尔曼·闵可夫斯基时空的等距同构群，由赫尔曼·闵可夫斯基引进，以法国数学家亨利·庞加莱命名。庞加莱群是一种有10个生成元的非阿贝尔群，在物理学上扮演着基础级别的重要角色。

等距同构是一种事物在事件间的时空轨迹上的移动方式，而这样做是不会影响原时的。例如，所有事件被延后了两小时，而这两小时中包括了两项事件，以及你从事件一到事件二的路径，那么你的计时器所量度出的，两事件间的时间间距会是一样的。又例如，所有事物被移到西边五公里外的地方，那么你所量度出的时间间距也不会改变。而这种移动的结果是不会影响棍子长度的。

如果我们无视重力效应的话，那么一共有十种移动方式：在时间上的平移，在三维空间中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果将这种等距同构结合起来（即执行一个之后再执行另一个），那么所得的结果也会是等距同构（然而，这一般来说只限于上述十种基本移动之间的线性组合）。这些等距同构因此形成了一个群。也就是说，它们当中存在单位元（即不移动，停留在原先的地方）及逆元（将事物移动回原先的位置），同时亦遵守结合律。这种特定群的名字叫做“庞加莱群”。

在古典物理学中，对应庞加莱群的群叫伽利略群，也是有十个生成元的，伽利略群作用于绝对时空。而在伽利略·伽利莱群中取代直线性洛伦兹变换的是，联系两个共动惯性参考系的错切变换。

庞加莱群是赫尔曼·闵可夫斯基时空的等距同构群，它是一种十维的非紧李群。在物理学中，庞加莱群是任何相对论性量子场的完全对称群，所有基本粒子都能成为这个群表示的一部分。庞加莱群的正能量幺正不可约表示与量子力学的粒子有关，由质量（非负数）与自旋（整数或半整数）所标记。

庞加莱群的结构包括平移的阿贝尔群作为一个正规子群，亨德里克·洛伦兹群作为一个子群，原点的稳定子群。庞加莱群本身是仿射群的最小子群，包括了所有的变换与洛伦兹变换。庞加莱群可以视为洛伦兹群的群扩张，而扩张的部分则是它的向量群表示，有时也被称为“非均匀洛伦兹群”。

亨利·庞加莱群的李代数，即庞加莱代数，通过平移生成元P和洛伦兹变换生成元M，以及赫尔曼·闵可夫斯基度规η定义了一系列的交换关系。庞加莱代数的卡西米尔不变量有助于标记群表示，对于理解粒子的性质至关重要。

庞加莱对称是狭义相对论的完全对称，包括时间与空间中的平移（P）、空间中的旋转（J）和直线性洛伦兹变换（K）。这些对称性的生成元组合起来形成了庞加莱群，它是平移群与亨德里克·洛伦兹群的半直积。在庞加莱群下不变的物理量具有庞加莱不变性或相对论性不变性。

与爱尔兰根纲领一致，赫尔曼·闵可夫斯基空间的几何由庞加莱群所规定。作为拓扑空间，庞加莱群共有四个连通区：单位区、时间反转区、空间颠倒区、以及同时出现时间反转与空间颠倒的区。这些连通区的存在对于理解庞加莱群的结构和表示具有重要意义。

在古典物理学中，对应庞加莱群的群是伽利略群，它也是有十个生成元的，作用于绝对时空。伽利略·伽利莱群中的直线性洛伦兹变换被错切变换所取代，这反映了非相对论性物理学中的时空观念。庞加莱群的出现标志着从伽利略对称性到相对论性对称性的转变，为理解现代物理学中的时空提供了关键的数学工具。