量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在上世纪20年代中期建立起来的。

狄拉克符号（也叫“bra-ket符号”）与希尔伯特空间一起，构成了量子力学形式体系，是非常重要的基本概念。

保罗·狄拉克（Dirac）符号（也叫“bra-ket符号”）于1939年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢。

把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α\u003e表示态矢，左矢\u003cα|表示其共厄矢量，\u003e\u003cα|β\u003e是点积，\u003cα|α\u003e大于等于0，称为模方。|β\u003e\u003cα|是向量积。\u003e

注意的是：几种表示的意义：|α\u003e右矢，\u003cα|左矢，A表示算符，A|α\u003e表示一个右矢，\u003cα|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从右方作用于左矢的。\u003e\u003cα|A|β\u003e是一个复数，可以看成（\u003cα|A|）|β\u003e即一个左矢与一个右矢的内积；或者\u003cα|（A|β\u003e），即一个右矢与一个左矢的内积。

狄拉克符号在量子力学理论表述中有两个优点：1.可以毋需采用具体表象（即可以脱离某一具体的表象）来讨论问题。2.运算简捷，特别是对于表象变换

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

不同的两个态矢量的点积则由一个括号来表示：\u003cψ|φ\u003e，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：

（δ为克罗内克函数）

相同的态矢量内积为：

因为每个右矢是一复数希尔伯特空间中的一个矢量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：

（1）给定任何左矢\u003cΦ|、右矢|Ψ\u003e以及|Ψ\u003e复数c及c，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义有：

（2）给定任何右矢|Ψ\u003e、左矢\u003cΦ|以及\u003e\u003cΦ|，还有复数c及c，则既然右矢是线性泛函：\u003e

（3）给定任何右矢|Ψ\u003e以及|Ψ\u003e，还有复数c及c，根据点积的性质（其中c*代表c的复数共轭），则有：

和

对联。

（4）给定任何左矢\u003cΦ|及右矢|Ψ\u003e，内积的一个公理性质指出：

1.狄拉克符号和波函数的关系

\u003cx|ψ\u003e=ψ(x)

把x换成p也一样，这里|x\u003e,|p\u003e满足关系

X|x\u003e=x|x\u003e， P|p\u003e=p|p\u003e

此时，X,P是坐标和动量算符，x,p都是具体的坐标动量值。

2 最基本的不确定性原理

\u003cx|p\u003e=a exp(ipx/h)

三维换成点乘，归一化系数a=1/（2 pi h）^(s/2),s是维度）

注意：h是带一横的。

3 一个力学量A在|ψ〉上的观测值是\u003cψ|A|ψ\u003e，A是一个厄米算符，A=A(+)

4 \u003ca|ABC...|b\u003e是一个经典数，在式子中可以作为（表示，但是不能表示高等数学）一个整体移动，其他情况下，你不能改变式子中各符号的顺序。(\u003ca|ABC...|b\u003e)*=(\u003cb|...C(+)B(+)A(+)|a\u003e),(在当中是力学量算符的情况下，不用写(+))

5 .埃尔温·薛定谔表象：

|ψ（t）\u003e=exp(-iHt)|ψ\u003e或者说满足薛定谔方程。

力学量A不随时间演化。任意时刻对力学量A的观测平均值为\u003cψ|exp(iHt)Aexp(-iHt)|ψ\u003e

海森伯格表象，态不变，力学量算符按照时间演化

A(t)=exp(iHt)Aexp(-iHt)

保证在任意时刻测量得到的力学量平均值与薛定谔表象下是一致的。直接对A(t)求导推出海森堡方程

力学量的指数表示exp(A)=1+A+A^2/2!+A^3/3!+....

验证作用在力学量A的本征态|a\u003e上时，满足exp(A)|a\u003e=exp(a)|a\u003e

量子力学对矩阵计算有重要影响。狄拉克符号的创新应用在它能表示动态过程。

希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的映射的研究是泛函分析的重要组成部分。

设H是一个实的向量空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：

①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x);

②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);

③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个点积，而H称为内积空间。

如果定义‖x‖=，则在‖0‖下，H构成一个线性赋范空间。

完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间的概念还可以推广到复向量空间上。

欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例，希尔伯特空间的另一个最重要的特例是L²(G)，设G是n维欧几里德空间中的一个有界闭域，定义在G上的满足⨜G|f(x)|²dx\u003c+∞的勒具格可测函数全体记为L²(G)，在L²(G)中引入内积(f，g)=⨜Gf(x)g(x)dx，则L²(G)是一个希尔伯特空间，L²(G)是实用中最重要和最常用的希尔伯特空间。

希尔伯特空间有许多与欧几里德空间相似的性质，例如，在希尔伯特空间中，可以定义向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一许瓦兹不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希尔伯特空间中，存在着完全的标准正交系，希尔伯特空间中的任一向量可以依任一完全的标准正交系分解。

在泛函分析中，详细地研究了希尔伯特空间自共轭映射的理论，特别是自共轭算子的谱理论，这一理论在经典数学的不少领域中有广泛的应用。需要特别指出的是，自共轭算子的谱理论，为量子力学的发展，提供了适合的工具。

理论数学、应用数学和物理中的许多问题，在希尔伯特空间中，可得到较好的处理，因此，希尔伯特空间成为泛函分析中最重要的和最常用的一类空间，它在许多其他数学分支、理论物理和现代工程技术理论中，也得到了广泛的应用。

量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。1900年，德国物理学家马克斯·普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问题。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔提出了解释原子光谱线的原子结构的量子论，并经德国物理学家阿诺德·索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家路易·德布罗意在爱因斯坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理学家海森伯格和马克斯·玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学家埃尔温·薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。