在数学中，二次函数（Quadratic 函数）（、、是，且）是对自变量的所有实数定义的多项式函数。其中是自变量，是函数值，、、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

公元前2000年，四大文明古国、中国和古巴比伦的工程师就已经知道正方形的面积与边长的关系。公元前300年，古希腊数学家毕达哥拉斯发现比率可以用来解二次方程。公元700年，印度数学家婆罗摩笈多提出了两个根的概念，发明了二次方程的通解。16世纪晚期，法国数学家弗朗索瓦·维尔特提出了二次函数使用的符号。1637年，勒内·笛卡尔出版了《几何学》，创造了二次方程的现代形式。

二次函数的解析式有三种，即一般式

（、、是常数，且）、顶点式

（、、是常数，且）以及交点式

。可以通过五点描图法绘制函数图像，图像是抛物线，其开口方向、顶点坐标、对称轴等性质都和参数的取值有关。在某些实际问题中，如果变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的性质解决问题，如最值、抛物线形问题、抛体运动问题等。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是自变量（independent variable），是的函数（函数）。如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。

一般地，形如（、、是常数，且）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中是自变量，是函数值，、、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。数学中，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数（degree of a polynomial）。在二次函数中，自变量的最高次数是2。

公元前2000年，四大文明古国、中国和古巴比伦的工程师就已经知道正方形的面积与边长的关系。他们知道，如果正方形阁楼的面积扩大三倍，就可以储存九倍以上的干草捆，他们还发现了计算矩形和T形等面积的方法。“Quadratic”这个词是从“Quad”衍生出来的，意思就是正方形。二次函数最早由古巴比伦数学家开始研究，主要用于解决与面积有关的几何问题。

公元前300年，古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得发现了一种利用几何学求解二次方程的方法。其中，毕达哥拉斯发现比率可以用来解二次方程，与欧几里得不同的是，他没有认识到这些比率可能是不合理的。公元700年，印度人使用十进制系统写出了方程式，其中贡献最大的属印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta），他提出了两个根的概念，并且还发明了二次方程的通解。

公元800年，一位名叫阿尔·花剌子模（al-Khwarizmi）的波斯数学家，用根和平方根写出了六个方程式。然而，这些方程并没有考虑到方程式的负解。公元1100年，印度数学家巴什哈拉进一步发展了阿尔·花剌子模（al-Khwarizmi）和婆罗摩多（Brahmagupta）的思想。巴什哈拉是第一个认识到任何正数都有两个平方根的人。1545年，文艺复兴时期，意大利人数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）将阿尔·花剌子模（al-Khwarizmi）和欧几里得（Euclid）等前辈数学家的研究成果汇编成一种允许负数存在的方程形式。

16世纪晚期，法国数学家弗朗索瓦·维尔特提出了二次函数的使用符号。1637年，勒内·笛卡尔出版了《几何学》，创造了二次方程的现代形式。

（、、是常数，且）。

（、、是常数，且），顶点任何一个二次函数解析式通过配方都可以化成顶点式，当时，抛物线顶点在轴上；当时。抛物线顶点在原点处。

，其中，是抛物线与轴的两个交点的横坐标，或是方程的两个根。

通过使用值，可将二次函数一般式转化为顶点式。例如将二次函数一般式转化为顶点式。首先从一般式可知，，；其次使用和的公式可得，；最后二次函数的顶点式为。

根据抛物线与轴的两个交点两个交点和，可将二次函数一般式转化为交点式。例如将二次函数一般式转化为交点式。由二次函数一般式可知，求解一元二次方程，解得，，因此二次函数的交点式为。

方法：确定二次函数解析式时，根据所给的条件合理地选择恰当的解析式。一般已知抛物线任意三点（不共线三点）时，通常设函数解析式为一般式，即，需求出、、的值。由已知条件列出关于、、的方程组，求出、、的值，就可以写出二次函数的解析式；当已知顶点坐标时，通常设函数解析式为顶点式；当已知抛物线与轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式。

例：已知一个二次函数的图像经过三点（1，3），（-1，-5），（3，-13），求这个二次函数的表达式。

解：设二次函数的表达为，将三个点（1，3），（-1，-5），（3，-13）分别带入函数表达式，得到关于、、的三元一次方程组，即

，解得。因此，所求二次函数表达式为。

第一步：找到对应顶点；

第二步：绘制一个5行2列的二次函数表，在顶点两边取两个随机值；

第三步：将每个值代入给定的二次函数中，找出对应的值，总共五个点；

第四步：将五个点绘制在平面直角坐标系上，并用光滑曲线连接起来，就可以得到二次函数的图像。

例：绘制二次函数的图像。

解：根据二次函数，已知，，。

第一步：找到顶点坐标，，，因此，顶点坐标为。

第二步：绘制一个5行2列的二次函数表，将顶点坐标写在中间行。

第三步：选择数字2两边的两个随机数填充第一列。

第四步：将每个随机数值代入二次函数中，求得对应的值。

第五步：将五个点绘制在平面直角坐标系上，并用光滑曲线连接起来，就可以得到二次函数的图像。

一般地，二次函数的图像叫做抛物线，它们开口或者向上或者向下。抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点被称为抛物线的三要素。二次函数的图形上任意三个不同的点都不在一条直线上，若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图形经过这三点。

二次函数的自变量可取一切实数。

二次函数的顶点坐标为，对称直线。

一般地，抛物线与形状相同、位置不同。把抛物线向上平移个单位，得到抛物线，向左平移个单位，可以得到抛物线。平移的方向、距离根据和的值决定。

在二次函数中，令时，函数值，取抛物线在轴上的截距为。

一般地，对于二次函数，把使一元二次方程的实数叫做二次函数的零点。用一元二次方程的判别式来确定二次函数零点的性质。

若二次函数有两个不相等的实根，则：

例：求不等式的解集。

解：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图像得到的解集。对于方程，已知，，所以不等式有两个不相等的实数根。解得，，所以不等式的解集为。

定义1：设是中的多项式，是数域中的数，在上式中用代替所得的数

称为当时的值，记为。这样，对于数域中每一个数，就有数域中唯一确定的数与之对应。于是就得到数域的一个映射，这个映射由多项式所确定，称为数域上多项式函数。其中，是数域上的一元多项式的全体。

定义2：如果在时的函数值，那么称是的一个根或零点。

定义3：如果是的重因式，即

，，

则称是的重根；如果，则称是的单根；当时，称是的重根。

定理1：余数定理：用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值。

定理2：是的根的充分必要条件是。

定理3：的多项式和相等的充要条件是它们所定义在数域上的多项式函数相等。

在某些实际问题中，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的图像和性质进行研究。下面将对二次函数的常见应用进行举例说明。

例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大。

解：设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化。首先确定随变化的函数解析式，涨价元时，每星期少卖件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付。因此，所得最大利润为，即，其中。

例2：用总长为 60米的篱围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化。当是多少米时，场地的面积最大。

解：首先写出关于的函数解析式，再求出使最大的值。矩形场地的周长是60米，一边长为米，所以另一边长为米。场地的面积，即。

因此，当时，有最大值，也就是说，当时，场地面积最大。

例：下面图形（1）是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，水面下降1米，水面宽度增加多少。

解：根据二次函数图形是抛物线的特点，建立适当的坐标系，求出这条抛物线表示的二次函数，就可得到水面宽度的增加值。以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系（图形（2））。设这条抛物线表示的二次函数为。由抛物线经过点，可得，。这条抛物线表示的二次函数为。

例：火箭在秒时发射，它的高度以海拔米为单位，作为时间的函数由下式给出，求火箭在什么时候达到最大高度，火箭在什么高度达到离水面的最大高度。

解：求最大值，首先找到的顶点的坐标，。因此，最大高度出现在4.69秒之后。为求出火箭在水面以上达到最大高度时的高度，需要得到顶点的坐标，。因此，在火箭发射4.69秒后，火箭的最大高度为264.96米。