伯恩哈德·黎曼猜想（英文名：Riemann Hypothesis），简称RH，是德国数学家黎曼（Riemann，1826—1866年）于1859年提出，关于黎曼Zeta函数零点分布的猜想，该猜想提出其所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线（临界线）上。

黎曼猜想是数学家黎曼于1859年在《论小于给定数值的素数个数》论文中提出的一种假设。在该论文中伯恩哈德·黎曼给出了黎曼猜想的推导过程。黎曼猜想提出后，1896年，雅克·阿达马和法勒布赛第一个分别独立地证明了在直线上没有零点。1903年，革兰证明的前15个零点对黎曼猜想成立，成为该猜想研究的最早成果。至1966年，非平凡零点已经验证到了350万个。1986年，计算机已经能够算出满足黎曼猜想Zeta函数前15亿个非平凡零点。2000年，黎曼猜想被克雷数学研究所列为21世纪的重要数学问题。2018年，数学家迈克尔·阿蒂亚宣称自己证明了黎曼猜想，虽然未被认同，但也为破解黎曼猜想提供一种新思路。

黎曼猜想与素数定理有着重要的联系。由黎曼猜想可以得出34种等价命题。对黎曼猜想进行推广可引出广义黎曼猜想、拓展黎曼猜想、统一黎曼猜想。黎曼猜想对函数论和数论的发展影响深远，如，黎曼猜想的解决或可帮助解决著名的哥德巴赫猜想。因此，人们对于黎曼猜想的讨论也将一直持续下去。

当实变数时，级数是收敛的，且可表示为无穷乘积的形式，其中取遍所有素数。

伯恩哈德·黎曼首次对上述函数在复数域进行研究：令代表正整数，代表复数，黎曼函数是一个复变函数，这个复变函数包含着一个复数公式：其中，代 表的实部即，代 表的虚部即，和则分别代表构成的两个实数。

伯恩哈德·黎曼本人已证明，当时，无零点，当时，仅在具有一阶零点，此外再无零点，他称这些零点为平凡零点。因此，函数的无穷多个非平凡零点必落在带状区域内，而且容易证明这些零点关于直线呈对称分布。伯恩哈德·黎曼猜测函数的非平凡零点全部落在直线上，这就是著名的关于函数的黎曼猜想，亦称黎曼假设。

德国数学家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866年）于1859年发表了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文，该论文的一个重大成果是发现质数蕴藏在一个特殊函数之中。黎曼猜想的原始表述体现在这篇论文中。伯恩哈德·黎曼用函数讨论了素数的分布问题，并连续提出了六个猜想。通过黎曼的工作和他的猜想，在解析数论领域处于中心地位。随着时间的推移，有五个猜想已经被陆续地解决。然而，惟独第五个问题作为猜想的地位依然如故”。

19世纪末-20世纪初，一些数学家对黎曼猜想进行了早期研究。1896年，雅克·阿达马和法勒布赛分别独立地证明了在直线上没有零点。连同了伯恩哈德·黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。

黎曼猜想提出后，引发了数学界的官方关注。1900年，德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert， 1862-1943年）列出了20世纪最重要的数学问题表，黎曼猜想就位列其中。1901年，科赫（von Koch）证明了黎曼猜想与等价。其中表示不大于实数的素数个数，。这一结果表明长期以来一度被认为是随机分布的素数背后隐藏着奇异的规律和秩序，这种规律和秩序体现在函数的非平凡零点的分布之中。1903年，革兰（Gram） 证明的前15个零点对黎曼猜想成立，这是该猜想研究的最早成果。1914年，戈弗雷·哈代（Hardy Godfrey Harold，1877-1947年）证明了有无限个零点在直线上，他证明了这条直线上有无穷多个零点，但他无法证明直线之外没有零点。1923年， 哈代和利特尔伍德证明，假设广义黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

随着时间的推移，人们发现计算机技术可以应用于数学证明，黎曼猜想的研究进入了新的阶段。1932年，人工智能之父艾伦·麦席森·图灵计算出了函数的1104个非平凡零点，开启了计算机辅助计算的接力赛。同年，德国数学家西格尔（Siegel）从伯恩哈德·黎曼的手稿里找到了关键的证据。证据表明黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。西格尔在手稿里发现了黎曼当年随手写下的公式，这个公式被称为黎曼–西格尔公式。1937年，伊万·维诺格拉多夫（Iv an Vinogradov）在无须广义黎曼猜想的情形下，直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和，其他数学家猜测 “充分大”的下限是101300。在戈弗雷·哈代和里特伍德的基础上，Helfgott将傅立叶系数的计算分成两部分，分别是“优弧”和 “劣弧”。

20世纪中后期，黎曼猜想也有一些新的证明结论。1942年，挪威数学家泽尔贝格（Selberg），证明了有正百分比的非平凡零点在临界线上。1948年，威尔（Weil）证明对一般代数曲线黎曼猜想成立。1966年，非平凡零点已经验证到了350万个。1975年，麻省理工学院的莱文森引入了独特的方法，证明黎曼函数临界线上的零点占全部零点的比例达到了34.74％。1972年，美国麻省理工学院的莱文森（Levinson）证明的零点在上。1973年，皮埃尔·德利涅（P.Deligne）证明对一般代数簇黎曼猜想成立。1974年，莱文森证明了至少有34％的零点位于临界线上。1976年，中国数学家楼世拓、姚琦证明了比例达到35％。1986年，计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。1989年，美国数学家康利（Conrey）证明了至少有40％的零点位于临界线上。

进入21世纪，黎曼猜想依然是人们热议的数学难题。2000年初，克雷数学研究所（Clay 数学 Institute）再次列出下个世纪的重要数学问题时，黎曼猜想仍然赫然在列。并设立一百万美元的奖金鼓励数学爱好者继续对其进行研究。2004年，非平凡零点验证这一记录达到了8500亿。法国团队用改进的算法，将伯恩哈德·黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个，仍然没有发现反例。2018年9月20日，数学家迈克尔·阿蒂亚宣称自己证明了黎曼猜想，在海德堡论坛上，阿蒂亚爵士解释了黎曼猜想的本质及其与素数的相关性，提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路，其灵感来源于他在2018年ICM上提出的精细结构常数的推演，虽然精细结构常数是物理上未被完全证明的常数，但由于这篇文章目前还未经过同行审议，一些学者对他的推演过程或证明过程存疑，也有学者认为他的思路或为后续黎曼猜想证明提供一种新思路。

黎曼猜想提出：有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，...，等等。这样的数称为素数；它们在纯粹数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式。伯恩哈德·黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼函数的性态。黎曼猜想断言，方程的所有意义的解都在一条直线上，即。这点已经对于开始的1500000000个解验证过。黎曼猜想的简单证明如下：

引理：用表示函数集合：，此时为函数的可列多个间断点，，；若，则黎曼假设成立。

证：已设，故至少存在一个函数使任意小，当在带形之内时，必有：

，（1）

，（2）

（3）。由（2），（3）两式易得当时，又如所周知，函数在带形内的零点关于为对称，故当时。再注意到；，当，，；，，当，故黎曼假设成立。

黎曼猜想与素数分布有着重要的联系，素数定理是素数分布的著名结论，它等价于黎曼zeta函数在直线上的值不为零。素数定理即为：

，及渐进公式形式：

，

十八世纪，阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Lengendre）和高斯（Gauss）经过大量的数值计算就猜测了上面的主项，后来被法国的雅克·阿达马（J.Hadamard）和比利时的德拉瓦不桑（Ch.J.de la Vallee Poussin）独立证明。然而，在其被证明之前，首先对其作出重要贡献的是切比雪夫，1850年他得到了切比雪夫总和不等式：存在正常数，，，，成立。

黎曼猜想（以下简称RH）有各种等价命题，由黎曼猜想可以得出34个等价命题，给人们攻克黎曼猜想提供了更多的途径，如：熊飞尔德等价命题、莫比乌斯等价命题、莫顿等价命题等。

引进函数：

，

其中是Mangolgt函数：当时，，其它情况下，，则有下面的等价命题。

等价命题1

RH成立的充要条件是对任意的，

等价命题2

RH成立的充要条件是，熊飞尔德（L.Schoenfeld）将此式的等价命题用显然的数值形式表示为：

等价命题3

RH成立的充要条件是对，。

等价命题4

引进几个数论中的算术函数，约瑟夫·刘维尔函数：：，其中指中按重数计算的素因子个数，：，莫比乌斯（Mobius）函数：

莫顿（Mertens）函数：

：

这样关于这些初等数论函数有以下的等价命题

等价命题5

对于任意的，RH等价于，下面是罗宾（Robin）得到的等价命题。

等价命题6

RH等价于对于所有的，，其中是欧拉常数。

从这个方向研究伯恩哈德·黎曼猜想，后来得到另一个等价命题，首先定义第个调谐数：

：

等价命题7

RH成立当且仅当对于所有的，，等号只有当时成立。下面是关于Mertens函数的一个等价命题。

等价命题8

RH等价于对于任意的，，下面给出傅里叶（Fourier）级数的定义，阶傅里叶级数是所有有理数的集合，它们按从小到大的顺序排列，其中，。则有以下等价命题。

等价命题9

RH等价于，其中，#。

令为欧拉常数，为前个素数的乘积，那么有以下的等价命题。

等价命题10

RH成立当且仅当，对于所有的整数，，可以将上面的等价命题改进为：

等价命题11

RH成立当且仅当，除了有限多个，对于所有的整数，，设为阶傅里叶级数的元素，，其中，令，则有：

等价命题12

RH成立当且仅当对于任意，。

等价命题13

RH成立当且仅当对于任意，。

上面列出了黎曼猜想的一系列等价命题，可以说伯恩哈德·黎曼猜想和数学中的很多问题及分支是有着一定联系的，因此，黎曼猜想被认为是很重要的猜想，通过它可以得到很多结论。

在数学里，人们经常将问题进行推广，在攻克黎曼猜想的过程中，一些更强、更复杂的猜想也被人们发现。

的所有非显然零点，即在临界带形内的零点，都落在直线上。黎曼猜想只是广义黎曼猜想的一个特例，且广义猜想的显然零点也是比RH的多，其中包括0作为一个零点。

下面扩展黎曼猜想。首先引入戴德金 zeta函数，令K为一个整数环为的数域，是整数环中的理想，被称为整理想，而是的范数。那么戴德金 zeta函数定义为：，其中求和式对中所有的整理想求和。和伯恩哈德·黎曼zeta函数、狄利克雷函数相似，戴德金 zeta函数也需要解析严拓到整个复平面，同样满足函数方程，也有显然和非显然零点之分，同样，落在带形内的零点称为非显然零点。

所有代数数域戴德金zeta函数的所有非显然零点都落在直线上，当数域取为有理数时，戴德金 zeta函数变为，，可以看出此式便是伯恩哈德·黎曼zeta函数，所以黎曼猜想只是拓展黎曼猜想的一个特例。

下面引申统一黎曼猜想，它涉及到自守函数，关于的自守函数被定义为

：，其中：，同黎曼zeta函数类似，若果令：，那么它是个整函数，而且有函数方程：

，其中是一个数，是模1的数，是逆步表示，同样，落在内的零点称为非显然零点，这样得到统一黎曼猜想。

广义黎曼猜想和扩展黎曼猜想都是黎曼猜想的推广，都是在将zeta函数推广的前提下得到的，只是它们推广的方向不同，在广义黎曼猜想里，黎曼zeta函数推广为狄利克雷函数，而在扩展黎曼猜想里，推广为戴德金 zeta函数，它们彼此不同，然而却有着与黎曼zeta函数类似的性质，在统一黎曼猜想里，将狄利克雷函数和戴德金 zeta函数推广为自守函数，它们都是自守函数的特例，因此自守函数是很复杂的，它的解析延拓及函数方程仍没被普遍证明，但如果把统一黎曼猜想证明了，那么前面的三个猜想也就全部解决了，但它的证明也许比前三个的证明更加困难。

定理1

若广义黎曼猜想成立，则有，

关于给定区间内的素数个数，在1845年伯特兰（Bertrand）断言在区间内必有素数，并称为伯特兰·阿瑟·威廉·罗素定理，下面在假设RH的情况下，结果如下。

定理2

若RH成立，则对于充分大的和任意的，区间中必有素数。后来在1937年，英格姆（Ingham）在无条件下证明了对充分的，在区间内必有素数：

定理3

每个充分大的奇数都是三个素数的和。在1997年，Deshouillers，Effnger，te Riele和Zinoviev证得以下定理：

定理4

每个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个至多两个素因子的数之和。对于任意的，，。

关于，它是指1到实数之间的无次方因子整数个数，也就是说，指1到实数之间的整数个数，满足：如果，那么，其中。无条件的情况下，得到 ，特别的，当= 2时，上式便成为：首先，关于的估计的一些结果。1988年，巴拉苏布兰马尼安（Balasubramanian）和拉马钱德拉（Ramachandra）得到，而在RH的假设下，贾（Jia）在1993年得到的：对于任意的,

下面是是关于的一些结论。先看一个引理。

引理1

令是上的连续可微函数，是任一复数，令，那么，，

那么，很容易有下面的定理。

定理1

对于，，有。证明，每一个正整数可以因式分解为

，，其中，

上式也就是无次方因子整数的特征函数，是的素因子分解中的那些次幂不能被整除的素数之积，其次幂为被除得的余数。

定义：：#关于上式中的最小素数问题，有：若扩展黎曼猜想成立，则满足的最小素数小于，其中，。希思·布朗（Heath-Brown）在无条件下得到了最好的结果是最小的素数满足。

关于哥德巴赫猜想，在1742年，哥德巴赫在给莱昂哈德·欧拉的一封信中提到，所有大于4的自然数都是三个素数的和。后来长城欧拉补充到：任意大于3的偶数都是两个素数之和（强哥德巴赫猜想）。后来便称为哥德巴赫猜想，其中包括弱的和强的两种，经常被人们提起的哥德巴赫猜想便是指强哥德巴赫猜想，因为弱哥德巴赫猜想可以由强的推出。弱哥德巴赫猜想是说任意大于7的奇数都可表示为三个奇素数之和。戈弗雷·哈代和利特尔伍德在假设广义黎曼猜想的条件下推出对于充分大的奇数弱哥德巴赫猜想是成立的。

黎曼猜想是众多数学猜想中的最重要一个，它的解决意义十分重大，围绕猜想的研究大地推动了解析数论和代数数论的发展，函数论和数论领域内一系列重要的问题和猜想都直接依赖于黎曼猜想的解决。伯恩哈德·黎曼本人就曾在假定自己猜想成立的前提下，证明了重要的素数定理。此外，在黎曼猜想成立的前提下，米勒（G.Miler）提出了一个判别给定大整数是否为素数的多项式算法。1979 年，波兰的因凡涅斯与英国的希思·布朗得出在与之间一定有素数。其证明的前提也是假定黎曼猜想成立。伟大的数学大师戴维·希尔伯特预言：“也许只有在黎曼猜想得到彻底的研究之后，或许才能够去严格地解决哥德巴赫猜想，并且进一步着手解决孪生素数猜想，甚至能在更一般地意义上解决线性丢番图方程（具有给定的互质整系数）是否总有素数解。”

黎曼猜想是现今未获解决的众多数学猜想中最难的一个，它可以为数学指明新的发展方向，随着人类对数学研究的不断深入，解决黎曼猜想的过程中，它给数学家带来思维习惯和模式的改变，对数学领域深远影响。